Merhaba Sevgili 7. Sınıf Öğrencileri! 👋

Bugün sizlerle matematiğin temel taşlarından biri olan tam sayılarla işlemleri derinlemesine inceleyeceğiz. Bu konu, sadece 7. sınıf için değil, ileriki matematik hayatınız için de çok önemli bir temel oluşturuyor. Hazırsanız, tam sayıların gizemli dünyasına bir yolculuğa çıkalım! 🚀

Tam Sayılar Nedir? 🔢

Tam sayılar, doğal sayılar (0, 1, 2, 3, ...) ile bunların negatiflerinin (-1, -2, -3, ...) birleşiminden oluşan sayılar kümesidir. Genellikle 'Z' harfi ile gösterilir. Günlük hayatta birçok yerde karşımıza çıkarlar:

• Hava durumu: 🌡️ Sıfırın altında 5 derece ($ -5^\circ C $) veya sıfırın üstünde 10 derece ($ +10^\circ C $).
• Deniz seviyesi: 🌊 Deniz seviyesinin 20 metre altı ($ -20 $ m) veya 50 metre üstü ($ +50 $ m).
• Finans: 💰 Bankadaki borç ($ - $), alacak ($ + $).

Sayı doğrusunda 0, başlangıç noktasıdır. Pozitif tam sayılar sağa doğru, negatif tam sayılar ise sola doğru ilerler.

Tam Sayılarla Toplama İşlemi ➕

Tam sayıları toplarken dikkat etmemiz gereken iki durum vardır:

• Aynı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır.
  Örnek: $ (+5) + (+3) = +8 $ (5 adım ileri, 3 adım daha ileri, toplam 8 adım ileri)
  Örnek: $ (-5) + (-3) = -8 $ (5 adım geri, 3 adım daha geri, toplam 8 adım geri)
• Farklı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Sayıların mutlak değerleri arasındaki fark bulunur ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır.
  Örnek: $ (+5) + (-3) = +2 $ (5 adım ileri, 3 adım geri, başlangıçtan 2 adım ileri)
  Örnek: $ (-5) + (+3) = -2 $ (5 adım geri, 3 adım ileri, başlangıçtan 2 adım geri)

Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖

Tam sayılarda çıkarma işlemi, aslında toplama işlemine dönüştürülerek yapılır. Kural çok basit: Çıkarma işlemi, çıkan sayının işaretini değiştirip toplama işlemine dönüştürmektir.

• $ (+7) - (+3) = (+7) + (-3) = +4 $
• $ (+7) - (-3) = (+7) + (+3) = +10 $
• $ (-7) - (+3) = (-7) + (-3) = -10 $
• $ (-7) - (-3) = (-7) + (+3) = -4 $

Tam Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️

Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken hem sayıların mutlak değerlerini çarparız hem de işaret kurallarına dikkat ederiz:

• Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitiftir.
  $ (+) \times (+) = (+) $ Örnek: $ (+4) \times (+2) = +8 $
  $ (-) \times (-) = (+) $ Örnek: $ (-4) \times (-2) = +8 $
• Farklı işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.
  $ (+) \times (-) = (-) $ Örnek: $ (+4) \times (-2) = -8 $
  $ (-) \times (+) = (-) $ Örnek: $ (-4) \times (+2) = -8 $

Tam Sayılarla Bölme İşlemi ➗

Tam sayılarla bölme işlemi de çarpma işlemindeki işaret kurallarıyla aynıdır:

• Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitiftir.
  $ (+) \div (+) = (+) $ Örnek: $ (+10) \div (+2) = +5 $
  $ (-) \div (-) = (+) $ Örnek: $ (-10) \div (-2) = +5 $
• Farklı işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.
  $ (+) \div (-) = (-) $ Örnek: $ (+10) \div (-2) = -5 $
  $ (-) \div (+) = (-) $ Örnek: $ (-10) \div (+2) = -5 $

Tam Sayılarla Üslü İfadeler 🚀

Bir tam sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü ifade denir. Örneğin, $ a^n $ ifadesinde $ a $ taban, $ n $ ise üsttür (kuvvet).

• Pozitif Tam Sayıların Kuvvetleri: Pozitif bir tam sayının tüm kuvvetleri pozitiftir.
  Örnek: $ (+2)^3 = (+2) \times (+2) \times (+2) = +8 $
• Negatif Tam Sayıların Kuvvetleri:
  • Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri pozitiftir.
    Örnek: $ (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16 $
  • Negatif bir tam sayının tek kuvvetleri negatiftir.
    Örnek: $ (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 $

  Dikkat: Parantez kullanımına çok dikkat edin! $ (-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9 $ iken, $ -3^2 = -(3 \times 3) = -9 $ olur. Burada kuvvet sadece 3'ü etkiler, eksiyi değil.

• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her tam sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
  Örneğin: $ 5^0 = 1 $, $ (-100)^0 = 1 $, $ (-1)^0 = 1 $.
  Unutmayın: $ 0^0 $ tanımsızdır!
• 1'in Kuvvetleri: 1'in bütün tam sayı kuvvetleri 1'e eşittir.
  Örneğin: $ 1^5 = 1 $, $ 1^{100} = 1 $, $ 1^0 = 1 $.
• -1'in Kuvvetleri:
  • $ (-1) $ sayısının çift kuvvetleri $ +1 $'dir.
    Örnek: $ (-1)^2 = +1 $, $ (-1)^{10} = +1 $
  • $ (-1) $ sayısının tek kuvvetleri $ -1 $'dir.
    Örnek: $ (-1)^3 = -1 $, $ (-1)^{15} = -1 $

Tam Sayılarla İşlem Önceliği 📝

Birden fazla işlemin olduğu durumlarda, işlemlerin belirli bir sıraya göre yapılması gerekir. Bu sıraya işlem önceliği denir:

1. Parantez içindeki işlemler yapılır. 괄호
2. Üslü ifadeler hesaplanır. 🚀
3. Çarpma ve Bölme işlemleri yapılır (soldan sağa doğru). ✖️➗
4. Toplama ve Çıkarma işlemleri yapılır (soldan sağa doğru). ➕➖

Örnek: $ 10 - 2 \times (3 + 1)^2 \div 4 $

• Önce parantez içi: $ 3 + 1 = 4 $
• Sonra üslü ifade: $ 4^2 = 16 $
• İfade şimdi şöyle oldu: $ 10 - 2 \times 16 \div 4 $
• Çarpma ve bölme (soldan sağa): $ 2 \times 16 = 32 $
• İfade şimdi şöyle oldu: $ 10 - 32 \div 4 $
• Bölme: $ 32 \div 4 = 8 $
• İfade şimdi şöyle oldu: $ 10 - 8 $
• Son olarak çıkarma: $ 10 - 8 = 2 $

Özet ve İpuçları 🧠

• Tam sayıları toplarken ve çıkarırken işaretlere dikkat edin. Çıkarma işlemini toplama işlemine çevirmek işinizi kolaylaştırır.
• Çarpma ve bölmede işaret kuralları aynıdır: Aynı işaretliler pozitif, farklı işaretliler negatif sonuç verir.
• Üslü ifadelerde özellikle negatif sayıların tek ve çift kuvvetlerine, parantez kullanımına ve sıfırıncı kuvvete dikkat edin. Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir!
• İşlem önceliği sıralamasını asla unutmayın: Parantez > Üs > Çarpma/Bölme > Toplama/Çıkarma.
• Bol bol pratik yapmak, tam sayılarla işlemler konusunda ustalaşmanın anahtarıdır! 🔑

Umarım bu ders notları, tam sayılarla işlemler konusunu daha iyi anlamanıza ve testlere hazırlanırken size yardımcı olur. Başarılar dilerim! ✨