Sorunun Çözümü
Verilen işlem tanımına göre, üç basamaklı ABC sayısı için:
- $$ \text{ABC} = A \cdot B \cdot C + A \cdot B + B $$
Bu işlemin sonucunun 0 olmasını istiyoruz:
- $$ A \cdot B \cdot C + A \cdot B + B = 0 $$
Denklemi B ortak çarpan parantezine alalım:
- $$ B \cdot (A \cdot C + A + 1) = 0 $$
Bu eşitliğin sağlanabilmesi için iki durum vardır:
- B = 0
- A \cdot C + A + 1 = 0
İkinci durumu inceleyelim: ABC üç basamaklı bir doğal sayı olduğu için A, B, C birer rakamdır ve A sıfırdan farklıdır ($$A \in \{1, 2, ..., 9\}$$). C ise $$C \in \{0, 1, ..., 9\}$$ olabilir.
- Eğer A en az 1 ise, $$A \cdot C$$ ifadesi en az 0 olur (C=0 durumunda).
- Dolayısıyla, $$A \cdot C + A + 1$$ ifadesi her zaman $$0 + 1 + 1 = 2$$ veya daha büyük bir değer alacaktır.
- Bu durumda, $$A \cdot C + A + 1$$ ifadesi asla 0 olamaz.
Bu nedenle, eşitliğin sağlanabilmesi için tek olasılık B = 0 olmasıdır.
Şimdi seçeneklere bakalım ve ortadaki rakamı (B) 0 olan sayıyı bulalım:
- A) 240 (B=4)
- B) 305 (B=0)
- C) 417 (B=1)
- D) 512 (B=1)
Ortadaki rakamı 0 olan sayı 305'tir.
Cevap B seçeneğidir.