🎓 7. Sınıf Tam Sayılarla İşlemler Ünite Değerlendirme Test 7 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf "Tam Sayılarla İşlemler" ünitesindeki temel kavramları, işlem kurallarını ve problem çözme stratejilerini kapsamaktadır. Tam sayılarla dört işlem, üslü ifadeler, işlem önceliği, sayı doğrusu ve günlük hayat problemlerini içeren bu notlar, sınav öncesi hızlı bir tekrar için harika bir kaynaktır.

1. Tam Sayılar ve Dört İşlem ➕➖✖️➗

• Toplama İşlemi: Aynı işaretli iki tam sayı toplanırken, sayılar toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır.
  Örnek: $ (+5) + (+3) = +8 $ veya $ (-5) + (-3) = -8 $
• Farklı işaretli iki tam sayı toplanırken, mutlak değeri büyük olan sayıdan mutlak değeri küçük olan sayı çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır.
  Örnek: $ (+7) + (-4) = +3 $ veya $ (-10) + (+6) = -4 $
• Çıkarma İşlemi: Bir tam sayıdan başka bir tam sayı çıkarılırken, çıkan sayının işareti değiştirilip toplanır. Yani, $ a - b = a + (-b) $ kuralı uygulanır.
  Örnek: $ (+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5 $ veya $ (-5) - (-2) = (-5) + (+2) = -3 $
• Çarpma İşlemi: Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitiftir.
  Örnek: $ (+4) \times (+5) = +20 $ veya $ (-4) \times (-5) = +20 $. Farklı işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.
  Örnek: $ (+6) \times (-2) = -12 $ veya $ (-7) \times (+3) = -21 $. Çarpılan sayı adedi tek ise sonuç negatif, çift ise sonuç pozitif olur.
  Örnek: $ (-1) \times (-1) \times (-1) = -1 $ (3 tane, tek)
• Bölme İşlemi: Çarpmadaki işaret kuralları bölme için de geçerlidir. Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitiftir.
  Örnek: $ (+10) \div (+2) = +5 $ veya $ (-10) \div (-2) = +5 $. Farklı işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.
  Örnek: $ (+12) \div (-3) = -4 $ veya $ (-15) \div (+5) = -3 $.
• ⚠️ Dikkat: Sıfır hariç bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Sıfırın sıfır hariç bir sayıya bölümü sıfırdır.

2. Üslü İfadeler 🚀

• Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü ifade denir.
  Örnek: $ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $
• Negatif Tam Sayıların Kuvvetleri: Negatif bir tam sayının tek kuvvetleri negatiftir.
  Örnek: $ (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27 $. Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri pozitiftir.
  Örnek: $ (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16 $
• ⚠️ Dikkat: Parantez olup olmaması çok önemlidir!
  $ -2^4 $ ifadesi $ -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16 $ demektir. Sadece 2'nin 4. kuvveti alınır, eksi işareti sonuca eklenir.
  $ (-2)^4 $ ise $ (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16 $ demektir.
• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her tam sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
  Örnek: $ 5^0 = 1 $, $ (-7)^0 = 1 $
• ⚠️ Dikkat: $ 0^0 $ ifadesi tanımsızdır.
• 10'un Kuvvetleri ve Basamak Sayısı: $ 10^n $ ifadesi, 1'in yanında n tane sıfır olan bir sayıyı temsil eder.
  Örnek: $ 10^3 = 1000 $. Bir sayıyı $ 10^n $ ile çarpmak, o sayının sonuna n tane sıfır eklemek demektir.
  Örnek: $ 12 \times 10^6 = 12.000.000 $ (12'nin sonuna 6 sıfır eklenir, toplam 8 basamaklı olur.)

3. İşlem Önceliği 🚦

• Birden fazla işlemin olduğu durumlarda belirli bir sıra takip edilmelidir:
  1. Üslü İfadeler (Varsa, önce bunlar hesaplanır.)
  2. Parantez İçindeki İşlemler (En içteki parantezden başlanır.)
  3. Çarpma veya Bölme İşlemleri (Soldan sağa doğru yapılır.)
  4. Toplama veya Çıkarma İşlemleri (Soldan sağa doğru yapılır.)
• 💡 İpucu: "ÜPÇT" (Üslü, Parantez, Çarpma/Bölme, Toplama/Çıkarma) kısaltması işlem önceliğini hatırlamak için faydalı olabilir.
• Örnek: $ 7 - 4 \times 3 + 5 - 2(4-5) $
  Önce parantez içi: $ 4-5 = -1 $
  Sonra çarpma: $ 4 \times 3 = 12 $ ve $ 2 \times (-1) = -2 $
  İfade: $ 7 - 12 + 5 - (-2) $
  Şimdi soldan sağa toplama/çıkarma: $ 7 - 12 = -5 $
  $ -5 + 5 = 0 $
  $ 0 - (-2) = 0 + 2 = 2 $

4. Sayı Doğrusu ve Tam Sayıları Sıralama 📏

• Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe sayılar küçülür.
• Negatif sayılar 0'dan küçüktür ve mutlak değeri büyüdükçe sayı küçülür.
  Örnek: $ -10 < -2 < 0 < +3 $
• İki nokta arasındaki uzaklık, büyük sayıdan küçük sayının çıkarılmasıyla bulunur. Mutlak değer de kullanılabilir.
  Örnek: $ (-2) $ ile $ (-10) $ arasındaki uzaklık $ (-2) - (-10) = -2 + 10 = 8 $ birimdir. Veya $ | -2 - (-10) | = |8| = 8 $.

5. Cebirsel İfadelerde Değer Bulma ve Denklem Çözme 🧩

• Bir cebirsel ifadede değişkenin (harfin) yerine verilen tam sayıyı yazarak ifadenin değerini bulabiliriz.
  Örnek: $ K = -2 $ ise $ K^3 - K^2 = (-2)^3 - (-2)^2 = (-8) - (+4) = -8 - 4 = -12 $
• Basit denklemlerde bilinmeyeni yalnız bırakarak çözüm yaparız. Ters işlem mantığı kullanılır.
  Örnek: $ 15 + \square = 6 \implies \square = 6 - 15 = -9 $
• Üslü denklemlerde, sonucun 1 olduğu durumlara dikkat edilmelidir:
  Taban 1 ise ($ 1^{\text{herhangi bir sayı}} = 1 $).
  Üs 0 ise (taban sıfır olmamak şartıyla, $ a^0 = 1 $).
  Taban -1 ise ve üs çift sayı ise ($ (-1)^{\text{çift sayı}} = 1 $).

6. Problemler ve Günlük Hayat Uygulamaları 📊

• Aritmetik Ortalama: Bir veri grubundaki sayıların toplamının, veri adedine bölünmesiyle bulunur.
  Örnek: Bir şirketin ilk 7 ay 20.000 TL zarar etmesi demek, toplam $ 7 \times (-20.000) = -140.000 $ TL demektir. Yıl sonunda 15.000 TL kâr etmesi için toplam $ 12 \times 15.000 = 180.000 $ TL kâr etmesi gerekir. Kalan 5 ayda ne kadar kâr etmesi gerektiğini bulmak için denklemler kurarız.
• En Büyük/En Küçük Değer Problemleri:
  Çarpımları sabit olan iki negatif tam sayının toplamının en büyük olması için sayılar birbirine en uzak (mutlak değerce büyük ve küçük) seçilmelidir.
  Örnek: Çarpımları $ -20 $ olan negatif tam sayıların toplamının en büyük olması için sayılar $ (-1) $ ve $ (+20) $ değil, $ (-1) $ ve $ (-20) $ olmalıdır. (Soruda negatif tam sayı dendiği için $a \times b = -20$ olmalıydı. Eğer $a \times b = 20$ ve $a,b$ negatif ise, $a=-1, b=-20$ için $a+b=-21$ veya $a=-4, b=-5$ için $a+b=-9$. En büyük toplam -9 olur. Testteki Soru 1, $a \times b \times c = -20$ ve $a,b,c$ negatif tam sayılar. Bu durumda 3 negatif sayının çarpımı negatif olur. Toplamın en büyük olması için sayıların mutlak değerce birbirine en yakın olması gerekir. Örneğin, $ (-1) \times (-2) \times (-10) = -20 $. Toplam: $ -1-2-10 = -13 $. Veya $ (-1) \times (-4) \times (-5) = -20 $. Toplam: $ -1-4-5 = -10 $. Bu durumda en büyük toplam -10 olur.)
  Toplamları sabit olan iki doğal sayının çarpımının en küçük olması için sayılar birbirine en uzak (biri 0, diğeri toplam değeri) seçilmelidir.
  Örnek: $ a+b=72 $ ise $ a \cdot b $'nin en az olması için $ a=0, b=72 $ seçilir. Çarpım $ 0 \times 72 = 0 $.
• Geometri ile İlişkili Problemler: Dikdörtgenin alanı = kısa kenar uzunluğu $ \times $ uzun kenar uzunluğu. Uzunluklar her zaman pozitif değerlerdir, bu yüzden sayı doğrusunda mesafeleri mutlak değer olarak düşünmeliyiz.

💡 Genel İpucu: Problemleri çözerken adımları dikkatlice takip et, işaretlere özellikle dikkat et ve işlem önceliğini asla unutma! Bol bol pratik yaparak bu konularda ustalaşabilirsin. Başarılar dilerim! ✨