Verilen denklemleri kullanarak m, n ve r arasındaki ilişkiyi bulalım:

• İlk denklem: \(m : n = -4 \Rightarrow \frac{m}{n} = -4 \Rightarrow m = -4n\)

• İkinci denklem: \(m : r = 3 \Rightarrow \frac{m}{r} = 3 \Rightarrow m = 3r\)

Her iki denklemde de m'yi yalnız bıraktığımız için, n ve r arasındaki ilişkiyi kurabiliriz:

• \(-4n = 3r\)

m, n ve r tam sayılar olduğundan, m hem -4'ün hem de 3'ün bir katı olmalıdır. Bu durumda m, LCM(4, 3) = 12'nin bir katı olmalıdır. m = 12k diyelim (k bir tam sayı).

• \(m = 12k\)

• \(12k = -4n \Rightarrow n = \frac{12k}{-4} \Rightarrow n = -3k\)

• \(12k = 3r \Rightarrow r = \frac{12k}{3} \Rightarrow r = 4k\)

Şimdi m + n + r ifadesini k cinsinden yazalım:

• \(m + n + r = 12k + (-3k) + 4k\)

• \(m + n + r = (12 - 3 + 4)k\)

• \(m + n + r = 13k\)

Soruda m + n + r ifadesinin en küçük doğal sayı değeri soruluyor. Doğal sayılar 1'den başlayan pozitif tam sayılardır (\(\{1, 2, 3, ...\}\)).

Denklemlerde bölme işlemi olduğu için n ve r sıfır olamaz. Bu durumda k da sıfır olamaz.

• Eğer k negatif bir tam sayı olursa (örneğin \(k = -1\)), \(m + n + r = 13 \times (-1) = -13\) olur ki bu bir doğal sayı değildir.

• Eğer k pozitif bir tam sayı olursa, m + n + r pozitif olur. En küçük doğal sayı değerini elde etmek için k'nin en küçük pozitif tam sayı değerini almalıyız, yani \(k = 1\).

\(k = 1\) için:

• \(m = 12 \times 1 = 12\)

• \(n = -3 \times 1 = -3\)

• \(r = 4 \times 1 = 4\)

• \(m + n + r = 12 + (-3) + 4 = 9 + 4 = 13\)

13 bir doğal sayıdır ve k'nin en küçük pozitif tam sayı değeri için elde edilen en küçük doğal sayıdır.

Cevap D seçeneğidir.