Verilen bilgilere göre, x ve y birer tam sayıdır ve $|x| = |y|$ koşulunu sağlamaktadır. Bu, x ve y sayılarının mutlak değerlerinin eşit olduğu anlamına gelir.

Bu koşul altında x . y ifadesinin alabileceği değerleri inceleyelim:

• Durum 1: x = 0 ise
  • Eğer $x = 0$ ise, $|x| = 0$ olur.
  • $|x| = |y|$ olduğundan, $|y| = 0$ olmalıdır, bu da $y = 0$ demektir.
  • Bu durumda $x . y = 0 . 0 = 0$ olur.
  • Yani, 0 değeri x . y için olası bir değerdir. (Seçenek B)
• Durum 2: x $\neq$ 0 ise
  • $|x| = |y| = k$ diyelim, burada $k$ pozitif bir tam sayıdır ($k \in \mathbb{Z}^+$).
  • Bu durumda $x$ ve $y$ için iki ana olasılık vardır:
    • x ve y aynı işaretli ise:
      • Eğer $x = k$ ve $y = k$ ise, $x . y = k . k = k^2$ olur.
      • Eğer $x = -k$ ve $y = -k$ ise, $x . y = (-k) . (-k) = k^2$ olur.
      Bu durumda $x . y$ pozitif bir tam kare sayı (örneğin $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, ...) olacaktır. Örnek: $x=1, y=1$ için $x.y = 1$. (Seçenek C)
    • x ve y zıt işaretli ise:
      • Eğer $x = k$ ve $y = -k$ ise, $x . y = k . (-k) = -k^2$ olur.
      • Eğer $x = -k$ ve $y = k$ ise, $x . y = (-k) . k = -k^2$ olur.
      Bu durumda $x . y$ negatif bir tam kare sayı (örneğin $-1^2=-1$, $-2^2=-4$, $-3^2=-9$, ...) olacaktır. Örnek: $x=1, y=-1$ için $x.y = -1$. (Seçenek A)

Özetle, x . y ifadesinin değeri ya 0 ya da bir tam sayının karesi ($k^2$) ya da bir tam sayının karesinin negatifi ($-k^2$) olmak zorundadır.

Şimdi seçenekleri kontrol edelim:

• A) -1: $k=1$ için $-k^2 = -1^2 = -1$ olabilir. (Örn: $x=1, y=-1$)
• B) 0: $x=0, y=0$ için $x.y = 0$ olabilir.
• C) 1: $k=1$ için $k^2 = 1^2 = 1$ olabilir. (Örn: $x=1, y=1$)
• D) 2: $2$ sayısı, bir tam sayının karesi ($k^2$) veya bir tam sayının karesinin negatifi ($-k^2$) şeklinde yazılamaz. Yani, $k^2 = 2$ veya $-k^2 = 2$ denklemlerini sağlayan bir tam sayı $k$ yoktur. Bu nedenle x . y ifadesinin değeri 2 olamaz.

Cevap D seçeneğidir.