🎓 7. Sınıf Tam Sayılarla İşlemler Ünite Değerlendirme Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf "Tam Sayılarla İşlemler" ünitesinde karşına çıkabilecek temel konuları ve bu konulardaki önemli noktaları kapsamaktadır. Testteki soruları çözmek veya sınava hazırlanmak için bu notları dikkatlice okuman, tam sayılar dünyasında sağlam adımlar atmana yardımcı olacaktır.

Bu notlarda tam sayıların tanımından başlayarak, dört işlem, üslü ifadeler, mutlak değer, işlem önceliği, sıralama ve günlük hayat problemlerine kadar birçok önemli konuyu bulacaksın. Hazırsan, tam sayılarla yolculuğumuza başlayalım! 🚀

Tam Sayılar Nedir? 🤔

• Tam sayılar, pozitif tam sayılar (Z⁺ = {1, 2, 3, ...}), negatif tam sayılar (Z^- = {..., -3, -2, -1}) ve sıfırdan oluşan sayılar kümesidir (Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}).
• Sıfır, ne pozitif ne de negatiftir. Başlangıç noktasıdır.
• Sayı doğrusunda sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir.
• 💡 İpucu: Günlük hayatta sıcaklık, rakım, borç/alacak gibi durumları ifade ederken tam sayıları kullanırız. Örneğin, deniz seviyesinin 10 metre altı -10, 20 metre üstü +20 olarak ifade edilir.

Tam Sayılarla Toplama İşlemi ➕

• Aynı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Sayılar toplanır, ortak işaret sonuca yazılır.
• Örnek: (+3) + (+5) = +8 (3 TL kazandın, 5 TL daha kazandın, toplam 8 TL kazancın oldu.)
• Örnek: (-4) + (-2) = -6 (4 TL borcun vardı, 2 TL daha borçlandın, toplam 6 TL borcun oldu.)
• Farklı İşaretli Tam Sayıları Toplama: Büyük sayının mutlak değerinden küçük sayının mutlak değeri çıkarılır. Sonuca mutlak değeri büyük olan sayının işareti yazılır.
• Örnek: (+7) + (-3) = +4 (7 TL kazancın vardı, 3 TL harcadın, 4 TL kazancın kaldı.)
• Örnek: (-10) + (+6) = -4 (10 TL borcun vardı, 6 TL ödedin, 4 TL borcun kaldı.)

Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖

• Tam sayılarla çıkarma işlemi yapılırken, çıkan sayının işaretini değiştirip (toplama işlemine göre tersini alıp) eksilen sayı ile toplarız.
• a - b = a + (-b)
• Örnek: (+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5
• Örnek: (-5) - (-2) = (-5) + (+2) = -3
• Örnek: (+12) - (-7) = (+12) + (+7) = +19
• ⚠️ Dikkat: İki eksi yan yana geldiğinde artı olur! Örneğin, $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

Tam Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️

• Aynı İşaretli İki Sayının Çarpımı: Sonuç pozitiftir.
• (+) . (+) = (+)     Örnek: (+4) . (+2) = +8
• (-) . (-) = (+)     Örnek: (-5) . (-3) = +15
• Farklı İşaretli İki Sayının Çarpımı: Sonuç negatiftir.
• (+) . (-) = (-)     Örnek: (+6) . (-2) = -12
• (-) . (+) = (-)     Örnek: (-7) . (+3) = -21
• 💡 İpucu: Birden fazla tam sayıyı çarparken, eksi işaretlerinin sayısına bak. Eğer tek sayıda eksi varsa sonuç eksi, çift sayıda eksi varsa sonuç artıdır.
• Örnek: (-1) . (-2) . (-3) = -6 (3 tane eksi var, tek sayı)
• Örnek: (-1) . (-2) . (-3) . (-4) = +24 (4 tane eksi var, çift sayı)

Tam Sayılarla Bölme İşlemi ➗

• Tam sayılarla bölme işleminde işaret kuralları çarpma işlemi ile aynıdır.
• Aynı işaretli iki sayının bölümü pozitiftir.
• Farklı işaretli iki sayının bölümü negatiftir.
• Örnek: (+10) : (+2) = +5
• Örnek: (-18) : (-3) = +6
• Örnek: (+20) : (-4) = -5
• Örnek: (-24) : (+6) = -4
• ⚠️ Dikkat: Sıfır hariç hiçbir sayı sıfıra bölünemez. Sıfırın sıfır hariç bir sayıya bölümü sıfırdır.

Tam Sayılarda Üslü İfadeler 🚀

• Bir tam sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü ifade denir. $a^n = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n tane)
• Pozitif Sayıların Kuvvetleri: Her zaman pozitiftir.
• Örnek: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
• Negatif Sayıların Kuvvetleri:
• Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir. (Parantez içinde olmasına dikkat et!)
• Örnek: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9$
• Örnek: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = +16$
• Negatif bir sayının tek kuvvetleri negatiftir.
• Örnek: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
• Örnek: $(-1)^5 = -1$
• ⚠️ Dikkat: Parantez çok önemlidir! $-2^4$ ile $(-2)^4$ farklıdır.
• $-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$ (Eksi işareti kuvvetin dışında kalır.)
• $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = +16$ (Eksi işareti de kuvvetin içindedir.)
• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
• Örnek: $5^0 = 1$
• Örnek: $(-7)^0 = 1$
• Örnek: $-4^0 = -1$ (Parantez olmadığı için eksi dışarıda kalır.)

Mutlak Değer |x| 📏

• Bir tam sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına mutlak değer denir. Mutlak değer asla negatif olamaz.
• $|x|$ şeklinde gösterilir.
• Örnek: $|+5| = 5$ (5'in sıfıra uzaklığı 5 birimdir.)
• Örnek: $|-5| = 5$ ((-5)'in sıfıra uzaklığı 5 birimdir.)
• Örnek: $|0| = 0$
• 💡 İpucu: Mutlak değer, bir sayıyı her zaman pozitif yapar (veya sıfırsa sıfır bırakır). Tıpkı bir mesafeyi ifade eder gibi. Bir yere olan uzaklık negatif olamaz, değil mi?

İşlem Önceliği ⚖️

• Birden fazla işlem içeren durumlarda işlemlerin belirli bir sıraya göre yapılması gerekir. Bu sıraya işlem önceliği denir.
• Sıralama:
1. Üslü İfadeler 🚀
2. Parantez İçindeki İşlemler (En içteki parantezden başlanır.) 괄호
3. Çarpma ✖️ veya Bölme ➗ (Soldan sağa doğru yapılır.)
4. Toplama ➕ veya Çıkarma ➖ (Soldan sağa doğru yapılır.)
• Örnek: $10 + 2 \cdot 3 - 4^2$
• Önce üslü ifade: $10 + 2 \cdot 3 - 16$
• Sonra çarpma: $10 + 6 - 16$
• Sonra toplama ve çıkarma (soldan sağa): $16 - 16 = 0$
• ⚠️ Dikkat: Aynı öncelikteki işlemler (çarpma/bölme veya toplama/çıkarma) soldan sağa doğru yapılır.

Tam Sayılarla Sıralama ve Eşitsizlikler 📈

• Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe küçülür.
• Pozitif tam sayılar sıfırdan ve negatif tam sayılardan büyüktür.
• Negatif tam sayılar sıfırdan küçüktür.
• 💡 İpucu: Negatif sayılarda, mutlak değeri küçük olan sayı daha büyüktür. Örneğin, -2 > -5 (2 TL borç, 5 TL borçtan daha iyi bir durumdur.)
• Eşitsizlikler ($<$, $>$, $\le$, $\ge$) bir sayının belirli bir aralıkta olduğunu gösterir.
• Örnek: $3 < A < 8$ demek, A sayısının 3'ten büyük ve 8'den küçük tam sayılar olabileceği anlamına gelir. Yani A = {4, 5, 6, 7}.
• Örnek: $-10 < B < -5$ demek, B sayısının -10'dan büyük ve -5'ten küçük tam sayılar olabileceği anlamına gelir. Yani B = {-9, -8, -7, -6}.
• Bir İfadenin En Büyük/En Küçük Değerini Bulma:
• $A - B$ işleminin en büyük değeri için A'yı en büyük, B'yi en küçük seçmelisin. (Çünkü bir sayıdan ne kadar küçük bir sayı çıkarırsan, sonuç o kadar büyük olur.)
• $A - B$ işleminin en küçük değeri için A'yı en küçük, B'yi en büyük seçmelisin.
• $A \cdot B$ işleminin en büyük değeri için işaretlere dikkat etmelisin. İki negatif sayının çarpımı pozitif ve büyük olabilir.

Toplama İşlemine Göre Ters Eleman 🔄

• Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaretinin değiştirilmiş halidir.
• Bir sayının toplama işlemine göre tersi ile toplamı sıfırdır.
• Örnek: +5 sayısının toplama işlemine göre tersi -5'tir. (+5) + (-5) = 0.
• Örnek: -12 sayısının toplama işlemine göre tersi +12'dir. (-12) + (+12) = 0.

Günlük Hayatta Tam Sayılar 🌍

• Tam sayılar, günlük hayatta birçok durumu ifade etmek için kullanılır.
• Sıcaklık: Donma noktasının altındaki sıcaklıklar negatif (-5°C), üstündekiler pozitif (+10°C).
• Rakım: Deniz seviyesi 0 kabul edilir. Deniz seviyesinin altı negatif (-20 m), üstü pozitif (+150 m).
• Kar/Zarar: Kar pozitif (+), zarar negatif (-) olarak ifade edilir.
• Borç/Alacak: Alacak pozitif (+), borç negatif (-) olarak ifade edilir.
• 💡 İpucu: Problemleri çözerken, verilen bilgileri tam sayılarla doğru bir şekilde ifade etmek, çözümün ilk ve en önemli adımıdır. "Eksik kalmak", "azalmak", "altında" gibi ifadeler genellikle negatif; "artmak", "fazla", "üstünde" gibi ifadeler ise genellikle pozitif değerleri temsil eder.

Bu ders notları, "Tam Sayılarla İşlemler" ünitesindeki temel kavramları ve işlem becerilerini pekiştirmen için tasarlandı. Unutma, bol bol soru çözmek ve hatalarından ders çıkarmak, bu konudaki başarının anahtarıdır. Başarılar dilerim! 🌟