🎓 7. Sınıf Tam Sayılarla İşlemler Ünite Değerlendirme Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 7. sınıf "Tam Sayılarla İşlemler" ünitesi kapsamında karşına çıkabilecek tüm temel konuları ve problem çözme yaklaşımlarını kapsar. Sınav öncesi son tekrarını yaparken veya test çözerken bu notlardan faydalanabilirsin. Unutma, tam sayılar günlük hayatımızın birçok yerinde karşımıza çıkar; hava durumu, deniz seviyesi, borç-alacak ilişkileri gibi! 🌍

🔢 Tam Sayılar Nedir?

• Tam sayılar, pozitif doğal sayılar (+1, +2, +3, ...), negatif tam sayılar (-1, -2, -3, ...) ve sıfır (0) kümesini kapsar.
• Sıfır, ne pozitif ne de negatiftir.
• Tam sayılar kümesi "Z" harfi ile gösterilir.
  $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$
• 💡 İpucu: Sayı doğrusunda sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir. Sayılar sağa doğru büyür, sola doğru küçülür.

➕ Tam Sayılarla Toplama İşlemi

• Aynı İşaretli Tam Sayılar: Sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır.
  Örnek: $(+5) + (+3) = +8$
  Örnek: $(-5) + (-3) = -8$
• Farklı İşaretli Tam Sayılar: Sayıların mutlak değerleri arasındaki fark bulunur ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır.
  Örnek: $(+7) + (-4) = +3$ (7'den 4 çıkar, 7'nin işareti +)
  Örnek: $(-10) + (+3) = -7$ (10'dan 3 çıkar, 10'un işareti -)
• ⚠️ Dikkat: Toplama işleminde sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez (Değişme Özelliği). Üç veya daha fazla tam sayıyı toplarken istediğin iki sayıyı önce toplayabilirsin (Birleşme Özelliği).

➖ Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi

• Tam sayılarla çıkarma işlemi, çıkan sayının işaretini değiştirip toplama işlemine dönüştürülerek yapılır.
  $a - b = a + (-b)$
• Örnek: $(+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5$
• Örnek: $(-5) - (+2) = (-5) + (-2) = -7$
• Örnek: $(+6) - (-4) = (+6) + (+4) = +10$
• Örnek: $(-7) - (-3) = (-7) + (+3) = -4$
• ⚠️ Dikkat: İki eksi yan yana geldiğinde artıya dönüşür. Örneğin, $5 - (-3)$ işlemi, $5 + 3$ işlemine eşittir.

✖️ Tam Sayılarla Çarpma İşlemi

• Aynı İşaretli Tam Sayılar: Sonuç her zaman pozitiftir.
  Örnek: $(+4) \times (+5) = +20$
  Örnek: $(-4) \times (-5) = +20$
• Farklı İşaretli Tam Sayılar: Sonuç her zaman negatiftir.
  Örnek: $(+6) \times (-3) = -18$
  Örnek: $(-7) \times (+2) = -14$
• 💡 İpucu: Çarpılan sayılardaki eksi işaretlerinin sayısına bak. Tek sayıda eksi varsa sonuç eksi, çift sayıda eksi varsa sonuç artıdır.
• Herhangi bir tam sayının 0 ile çarpımı 0'dır.
  Örnek: $(-15) \times 0 = 0$

➗ Tam Sayılarla Bölme İşlemi

• Çarpma işlemindeki işaret kuralları bölme işlemi için de geçerlidir.
• Aynı İşaretli Tam Sayılar: Sonuç her zaman pozitiftir.
  Örnek: $(+20) \div (+5) = +4$
  Örnek: $(-20) \div (-5) = +4$
• Farklı İşaretli Tam Sayılar: Sonuç her zaman negatiftir.
  Örnek: $(+18) \div (-3) = -6$
  Örnek: $(-14) \div (+2) = -7$
• ⚠️ Dikkat: Bir tam sayının 0'a bölümü tanımsızdır. 0'ın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü ise 0'dır.
  Örnek: $0 \div (-5) = 0$

📈 Tam Sayıların Kuvvetleri (Üslü Sayılar)

• Bir tam sayının kuvveti, o sayının kendisiyle tekrarlı çarpımıdır.
  $a^n = a \times a \times ... \times a$ (n tane a'nın çarpımı)
• Pozitif Tam Sayıların Kuvvetleri: Her zaman pozitiftir.
  Örnek: $3^2 = 3 \times 3 = 9$
• Negatif Tam Sayıların Kuvvetleri:
  • Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir.
    Örnek: $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16$
  • Negatif bir sayının tek kuvvetleri negatiftir.
    Örnek: $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$
• ⚠️ Dikkat: Parantez kullanımı çok önemlidir!
  $(-2)^4$ ile $-2^4$ farklıdır.
  $(-2)^4 = 16$ (taban -2'dir)
  $-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$ (taban 2'dir, eksi işareti sonuca etki eder)
• Özel Durumlar:
  • Sıfırdan farklı her tam sayının 0. kuvveti 1'dir.
    Örnek: $5^0 = 1$, $(-7)^0 = 1$
  • 1'in tüm kuvvetleri 1'dir.
    Örnek: $1^{100} = 1$
  • (-1)'in tek kuvvetleri -1, çift kuvvetleri +1'dir.
    Örnek: $(-1)^{107} = -1$, $(-1)^{100} = +1$
  • 0'ın pozitif tam sayı kuvvetleri 0'dır.
    Örnek: $0^5 = 0$

📏 Mutlak Değer

• Bir tam sayının sıfıra olan uzaklığına mutlak değer denir. Mutlak değer asla negatif olamaz.
• $|a|$ şeklinde gösterilir.
• Örnek: $|+5| = 5$ (5'in sıfıra uzaklığı 5 birimdir.)
• Örnek: $|-5| = 5$ (-5'in sıfıra uzaklığı 5 birimdir.)
• Örnek: $|0| = 0$

⚙️ İşlem Önceliği

• Birden fazla işlemin olduğu durumlarda, işlemler belirli bir sıraya göre yapılır:
• 1. Parantez içindeki işlemler ve Üslü İfadeler 🚀
• 2. Çarpma veya Bölme İşlemleri (Soldan sağa doğru sıra takip edilir) ✖️➗
• 3. Toplama veya Çıkarma İşlemleri (Soldan sağa doğru sıra takip edilir) ➕➖
• Örnek: $(-3) \times (-2)^2 + (-5) \times 4$
  • Önce üslü ifade: $(-2)^2 = 4$
  • Şimdi çarpma işlemleri: $(-3) \times 4 = -12$ ve $(-5) \times 4 = -20$
  • Son olarak toplama: $(-12) + (-20) = -32$
• 💡 İpucu: "PÜÇTÇ" (Parantez, Üs, Çarpma/Bölme, Toplama/Çıkarma) kısaltmasını aklında tutabilirsin.

🗺️ Sayı Doğrusunda Tam Sayılar

• Sayı doğrusu, tam sayıların görsel olarak sıralandığı bir çizgidir. Sıfır ortada, pozitif sayılar sağda, negatif sayılar soldadır.
• İki nokta arasındaki mesafe, büyük sayıdan küçük sayının çıkarılmasıyla bulunur.
  Örnek: 5 ile -3 arasındaki mesafe: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ birimdir.
• Eşit aralıklı noktalar verildiğinde, aralık sayısını ve toplam mesafeyi kullanarak her bir aralığın değerini bulabiliriz.

🧠 Tam Sayılarla Problem Çözme ve Eşitsizlikler

• Günlük hayattaki problemleri çözerken, verilen bilgileri tam sayılarla ifade etmek önemlidir. (Örn: Deniz seviyesinin altı negatif, üstü pozitif; borç negatif, alacak pozitif; sıcaklık artışı pozitif, azalışı negatif).
• "En az", "en çok" gibi ifadeler, genellikle olası durumları denemeyi veya sınır değerleri bulmayı gerektirir.
• Eşitsizlikler:
  $a < b$ (a, b'den küçüktür)
  $a > b$ (a, b'den büyüktür)
  $a \le b$ (a, b'den küçük veya eşittir)
  $a \ge b$ (a, b'den büyük veya eşittir)
• Bir ifadenin en küçük veya en büyük değerini bulmak için, eşitsizlik aralıklarındaki en uygun tam sayı değerlerini seçmelisin.
  • Örnek: $-3 < a < 4$ ise $a$ yerine yazılabilecek tam sayılar $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$'tür.
  • Bir ifadeyi (örneğin $b-a+c$) en küçük yapmak istiyorsan, çıkarılan sayıyı ($a$) en büyük, toplanan sayıları ($b$ ve $c$) ise en küçük seçmelisin.
• 💡 İpucu: Problemleri çözerken adım adım ilerle, her bir işlemi dikkatlice yap ve işaretlere özellikle dikkat et!

Bu notlar, tam sayılarla ilgili tüm temel bilgileri ve işlem becerilerini pekiştirmen için hazırlandı. Bol bol pratik yaparak konuyu çok daha iyi anlayacak ve sınavlarında başarılı olacaksın! 💪 Başarılar dilerim! ✨