Çözüm:

Verilen denklem $a^b = 81$'dir. $a$ ve $b$ tam sayılar olduğuna göre, bu denklemi sağlayan tüm $(a, b)$ çiftlerini bulmalı ve ardından $a+b$ değerlerinin kaç farklı sonuç verdiğini belirlemeliyiz.

• Adım 1: $a^b = 81$ denklemini sağlayan $(a, b)$ tam sayı çiftlerini bulalım.
  • Eğer $a$ pozitif bir tam sayı ise:
    • $3^4 = 81 \implies (a, b) = (3, 4)$
    • $9^2 = 81 \implies (a, b) = (9, 2)$
    • $81^1 = 81 \implies (a, b) = (81, 1)$
  • Eğer $a$ negatif bir tam sayı ise, $b$ çift olmalıdır çünkü $81$ pozitif bir sayıdır:
    • $(-3)^4 = 81 \implies (a, b) = (-3, 4)$
    • $(-9)^2 = 81 \implies (a, b) = (-9, 2)$
  • Diğer durumlar ($a=1, a=-1, b=0$ veya $b<0$) $a^b=81$ sonucunu vermez. Örneğin, $1^b=1 \ne 81$, $(-1)^b = \pm 1 \ne 81$, $a^0=1 \ne 81$ (tanımlı olduğu durumlarda) ve $b$ negatif olduğunda $a^b = \frac{1}{a^{-b}}$ ifadesi $81$ olamaz çünkü $a$ tam sayıdır.
• Adım 2: Bulunan her $(a, b)$ çifti için $a+b$ değerini hesaplayalım.
  • $(3, 4) \implies a+b = 3+4 = 7$
  • $(9, 2) \implies a+b = 9+2 = 11$
  • $(81, 1) \implies a+b = 81+1 = 82$
  • $(-3, 4) \implies a+b = -3+4 = 1$
  • $(-9, 2) \implies a+b = -9+2 = -7$
• Adım 3: Farklı $a+b$ değerlerinin sayısını belirleyelim.

  Hesapladığımız $a+b$ değerleri şunlardır: $7, 11, 82, 1, -7$.

  Bu değerlerin hepsi birbirinden farklıdır. Dolayısıyla, $a+b$ toplamı 5 farklı değer alabilir.

Cevap D seçeneğidir.