Duru'nun defterine yazdığı sayıların sağlaması gereken üç koşul bulunmaktadır:

1. Sayı, bir pozitif tam sayının karesidir. Yani $N = k^2$ formundadır.
2. Sayı, kuvveti 1 ve 2'den farklı (yani $p \ge 3$) olacak şekilde pozitif bir tam sayının doğal sayı kuvveti şeklinde yazılabilir. Yani $N = m^p$ formundadır, burada $p \in \{3, 4, 5, \dots\}$.
3. Sayı, 200'den küçüktür. Yani $N < 200$.

Bu koşulları birleştirdiğimizde, aradığımız sayı $N$'nin hem bir tam kare ($k^2$) hem de kuvveti 1 veya 2 olmayan bir tam kuvvet ($m^p$, $p \ge 3$) olması gerekmektedir. Bu, $N$'nin üssü 2'nin ve $p$'nin (burada $p \ge 3$) ortak katı olan bir sayının kuvveti olması gerektiği anlamına gelir. Yani $N = x^q$ formunda olmalıdır, burada $q$ hem 2'nin hem de $p$'nin bir katıdır ve $p \ge 3$ olduğu için $q \ge \text{ekok}(2,3) = 6$ (eğer $p$ tek ise) veya $q \ge \text{ekok}(2,4) = 4$ (eğer $p$ çift ise). Kısacası, $q$ en az 4 olmalı ve çift olmalıdır (çünkü $N$ bir tam kare). Dolayısıyla, $q \in \{4, 6, 8, 10, \dots\}$.

Şimdi bu koşulları sağlayan ve 200'den küçük olan sayıları bulalım:

• Kuvveti 4 olan sayılar ($q=4$):
  • $1^4 = 1$. Bu sayı $1^2$ (tam kare) ve $1^4$ (kuvveti 4, yani $\ge 3$) olduğu için koşulları sağlar. ($1 < 200$)
  • $2^4 = 16$. Bu sayı $4^2$ (tam kare) ve $2^4$ (kuvveti 4, yani $\ge 3$) olduğu için koşulları sağlar. ($16 < 200$)
  • $3^4 = 81$. Bu sayı $9^2$ (tam kare) ve $3^4$ (kuvveti 4, yani $\ge 3$) olduğu için koşulları sağlar. ($81 < 200$)
  • $4^4 = 256$. Bu sayı 200'den büyük olduğu için koşulu sağlamaz.
• Kuvveti 6 olan sayılar ($q=6$):
  • $1^6 = 1$. Bu sayı zaten bulundu.
  • $2^6 = 64$. Bu sayı $8^2$ (tam kare) ve $2^6$ (kuvveti 6, yani $\ge 3$) olduğu için koşulları sağlar. ($64 < 200$) (Ayrıca $64 = 4^3$ olarak da yazılabilir, bu da koşulu sağlar.)
  • $3^6 = 729$. Bu sayı 200'den büyük olduğu için koşulu sağlamaz.
• Kuvveti 8 olan sayılar ($q=8$):
  • $1^8 = 1$. Bu sayı zaten bulundu.
  • $2^8 = 256$. Bu sayı 200'den büyük olduğu için koşulu sağlamaz.

Daha yüksek kuvvetler için ($q=10, 12, \dots$) $2^q$ değeri de 200'den büyük olacağı için başka sayı bulunamaz.

Bulduğumuz sayılar: 1, 16, 64, 81.

Duru defterine 4 farklı sayı yazmıştır.

Cevap A seçeneğidir.