7. Sınıf Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi 🚀

Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Bu ders notumuzda, matematiğin temel taşlarından biri olan tam sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini derinlemesine inceleyeceğiz. Günlük hayatımızda sıkça karşılaştığımız bu işlemlerin mantığını ve kurallarını öğrenerek, matematiksel problemler karşısında daha güçlü olacaksınız. Hazırsanız, tam sayılar dünyasına bir yolculuğa çıkalım! 🗺️

Tam Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️

Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken en önemli nokta, sayıların işaretleridir. İşaretleri doğru belirlemek, sonucun da doğru olmasını sağlar. İşte çarpma işlemindeki işaret kuralları:

• Aynı İşaretli İki Tam Sayının Çarpımı: İki pozitif sayının çarpımı da, iki negatif sayının çarpımı da pozitif bir tam sayıdır. Yani, \( (+).(+) = (+) \) ve \( (-).(-) = (+) \).
• Farklı İşaretli İki Tam Sayının Çarpımı: Bir pozitif sayı ile bir negatif sayının çarpımı her zaman negatif bir tam sayıdır. Yani, \( (+).(-) = (-) \) ve \( (-).(+) = (-) \).

Örnekler:

• \( (+5) \times (+3) = +15 \) (İki pozitif sayının çarpımı pozitif)
• \( (-4) \times (-6) = +24 \) (İki negatif sayının çarpımı pozitif)
• \( (+7) \times (-2) = -14 \) (Farklı işaretli sayıların çarpımı negatif)
• \( (-8) \times (+3) = -24 \) (Farklı işaretli sayıların çarpımı negatif)

Günlük Hayattan Örnek: Bir bankadan her ay 100 TL borç aldığınızı düşünün. 3 ay sonra toplam borcunuz ne kadar olur? Bu durumu \( (-100) \times (+3) = -300 \) TL olarak ifade edebiliriz. 💸

Tam Sayılarla Bölme İşlemi ➗

Tam sayılarla bölme işlemi de çarpma işlemine çok benzer işaret kurallarına sahiptir. Tıpkı çarpmada olduğu gibi, bölme işleminde de işaretlere dikkat etmeliyiz:

• Aynı İşaretli İki Tam Sayının Bölümü: İki pozitif sayının bölümü de, iki negatif sayının bölümü de pozitif bir tam sayıdır. Yani, \( (+):(+) = (+) \) ve \( (-):(-) = (+) \) .
• Farklı İşaretli İki Tam Sayının Bölümü: Bir pozitif sayı ile bir negatif sayının bölümü her zaman negatif bir tam sayıdır. Yani, \( (+):(-) = (-) \) ve \( (-):(+) = (-) \) .

Örnekler:

• \( (+20) \div (+5) = +4 \)
• \( (-30) \div (-6) = +5 \)
• \( (+42) \div (-7) = -6 \)
• \( (-48) \div (+8) = -6 \)

Unutmayın: Sıfır hariç bir tam sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Sıfırın sıfır hariç bir tam sayıya bölümü ise sıfırdır. \( 0 \div (-5) = 0 \). ⚠️

Çarpma İşleminin Özellikleri ✨

Tam sayılarla çarpma işleminin bazı önemli özellikleri vardır. Bu özellikler, işlemleri daha kolay yapmamızı sağlar:

• Değişme Özelliği: İki tam sayının çarpımında sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez.
  \( a \times b = b \times a \)
  Örn: \( (-5) \times (+3) = -15 \) ve \( (+3) \times (-5) = -15 \).
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla tam sayının çarpımında, sayıları farklı gruplandırsak da sonuç değişmez.
  \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
  Örn: \( ((-2) \times 3) \times 4 = (-6) \times 4 = -24 \) ve \( (-2) \times (3 \times 4) = (-2) \times 12 = -24 \).
• Etkisiz Eleman Özelliği: Bir tam sayının \( +1 \) ile çarpımı, sayının kendisini verir. Bu yüzden \( +1 \) çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.
  \( a \times (+1) = a \)
  Örn: \( (-10) \times (+1) = -10 \).
• Yutan Eleman Özelliği: Bir tam sayının \( 0 \) ile çarpımı her zaman \( 0 \) sonucunu verir. Bu yüzden \( 0 \) çarpma işleminin yutan elemanıdır.
  \( a \times 0 = 0 \)
  Örn: \( (+25) \times 0 = 0 \).
• Dağılma Özelliği (Çok Önemli!): Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır. Bu özellik, parantezli ifadelerde çok işimize yarar. 💡
  • Toplama Üzerine Dağılma: Bir tam sayıyı, parantez içindeki iki tam sayının toplamıyla çarpmak yerine, o tam sayıyı parantez içindeki her bir tam sayıyla ayrı ayrı çarpıp sonuçları toplayabiliriz.
    \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)
    Örn: \( 5 \times (2 + 4) = 5 \times 6 = 30 \) ve \( (5 \times 2) + (5 \times 4) = 10 + 20 = 30 \).
  • Çıkarma Üzerine Dağılma: Bir tam sayıyı, parantez içindeki iki tam sayının farkıyla çarpmak yerine, o tam sayıyı parantez içindeki her bir tam sayıyla ayrı ayrı çarpıp sonuçları çıkarabiliriz.
    \( a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c) \)
    Örn: \( 10 \times (5 - 3) = 10 \times 2 = 20 \) ve \( (10 \times 5) - (10 \times 3) = 50 - 30 = 20 \).

İşlem Önceliği 🔢

Birden fazla işlem içeren durumlarda hangi işlemi önce yapacağımızı belirleyen bir sıra vardır. Bu sıraya işlem önceliği denir:

1. Parantez İçindeki İşlemler: Her zaman önce parantez içindeki işlemler yapılır. 괄호
2. Üslü İfadeler: Varsa üslü sayılar hesaplanır. ⬆️
3. Çarpma ve Bölme İşlemleri: Soldan sağa doğru sırasıyla yapılır. ✖️➗
4. Toplama ve Çıkarma İşlemleri: Soldan sağa doğru sırasıyla yapılır. ➕➖

Örnek: \( 5 + 3 \times (8 - 2) \div 2 \)

• Önce parantez içi: \( 8 - 2 = 6 \)
• Şimdi ifade: \( 5 + 3 \times 6 \div 2 \)
• Çarpma ve bölme (soldan sağa): \( 3 \times 6 = 18 \)
• Şimdi ifade: \( 5 + 18 \div 2 \)
• Bölme: \( 18 \div 2 = 9 \)
• Şimdi ifade: \( 5 + 9 \)
• Toplama: \( 5 + 9 = 14 \)

Özet ve Unutulmaması Gerekenler 🧠

• Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde aynı işaretlilerin sonucu pozitif, farklı işaretlilerin sonucu negatiftir.
• Çarpma işleminin değişme, birleşme, etkisiz eleman (+1) ve yutan eleman (0) özellikleri vardır.
• Çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği, karmaşık ifadeleri basitleştirmek için çok önemlidir.
• Birden fazla işlem içeren durumlarda işlem önceliği kurallarına uymak, doğru sonuca ulaşmanın anahtarıdır.

Bu ders notu ile tam sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini ve bu işlemlerin özelliklerini pekiştirdiğinizi umuyorum. Bol bol pratik yaparak konuyu tam anlamıyla kavrayabilirsin! Başarılar dilerim! 🌟