Verilen problemde a, b ve c birer tam sayı olmak üzere iki eşitlik verilmiş ve a + b + c işleminin sonucunun en küçük değeri istenmektedir.

• 1. Adım: Problemi Anlama ve Strateji Belirleme

  Denklemler:
  $a \cdot b = 48$
  $b \cdot c = 36$
  İstenen: $a + b + c$ toplamının en küçük değeri.

  Toplamın en küçük olabilmesi için a, b ve c sayılarının mümkün olduğunca negatif ve mutlak değerce büyük olması gerekir.

• 2. Adım: b Değerinin Özelliklerini Belirleme

  Her iki çarpım ($a \cdot b = 48$ ve $b \cdot c = 36$) pozitif olduğundan, eğer b negatif bir tam sayı ise, a ve c de negatif tam sayılar olmalıdır. Bu durum, $a+b+c$ toplamını en küçük (en negatif) yapma potansiyeli taşır.

  b sayısı hem 48'in hem de 36'nın bir böleni olmalıdır. 48 ve 36'nın ortak pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Dolayısıyla, b için olası negatif tam sayı değerleri: -1, -2, -3, -4, -6, -12'dir.

• 3. Adım: Olası b Değerlerini Test Etme

  $a = \frac{48}{b}$ ve $c = \frac{36}{b}$ formüllerini kullanarak her bir b değeri için a, c ve a + b + c toplamını hesaplayalım:

  • Eğer $b = -1$: $a = \frac{48}{-1} = -48$
    $c = \frac{36}{-1} = -36$
    $a + b + c = -48 + (-1) + (-36) = \mathbf{-85}$
  • Eğer $b = -2$: $a = \frac{48}{-2} = -24$
    $c = \frac{36}{-2} = -18$
    $a + b + c = -24 + (-2) + (-18) = \mathbf{-44}$
  • Eğer $b = -3$: $a = \frac{48}{-3} = -16$
    $c = \frac{36}{-3} = -12$
    $a + b + c = -16 + (-3) + (-12) = \mathbf{-31}$
  • Eğer $b = -4$: $a = \frac{48}{-4} = -12$
    $c = \frac{36}{-4} = -9$
    $a + b + c = -12 + (-4) + (-9) = \mathbf{-25}$
  • Eğer $b = -6$: $a = \frac{48}{-6} = -8$
    $c = \frac{36}{-6} = -6$
    $a + b + c = -8 + (-6) + (-6) = \mathbf{-20}$
  • Eğer $b = -12$: $a = \frac{48}{-12} = -4$
    $c = \frac{36}{-12} = -3$
    $a + b + c = -4 + (-12) + (-3) = \mathbf{-19}$

• 4. Adım: En Küçük Değeri Belirleme

  Hesaplanan toplam değerleri sırasıyla -85, -44, -31, -25, -20, -19'dur. Bu değerler arasında en küçük olanı -85'tir. Bu değer, b = -1 seçildiğinde elde edilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.