Verilen eşitsizlik: \(a < 0 < b < c\)

Bu eşitsizliğe göre:

• \(a\) negatiftir.
• \(b\) pozitiftir.
• \(c\) pozitiftir.
• Ayrıca \(b < c\) olduğu için \(b-c\) negatiftir.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) \(\frac{a-c}{c+b}\)
  • Pay: \(a-c\). (negatif) - (pozitif) = (negatif).
  • Payda: \(c+b\). (pozitif) + (pozitif) = (pozitif).
  • Sonuç: \(\frac{\text{negatif}}{\text{pozitif}}\) = (negatif). Bu ifade daima sıfırdan küçüktür.
• B) \(\frac{a-b}{c-a}\)
  • Pay: \(a-b\). (negatif) - (pozitif) = (negatif).
  • Payda: \(c-a\). (pozitif) - (negatif) = (pozitif) + (pozitif) = (pozitif).
  • Sonuç: \(\frac{\text{negatif}}{\text{pozitif}}\) = (negatif). Bu ifade daima sıfırdan küçüktür.
• C) \(\frac{a-c}{b-c}\)
  • Pay: \(a-c\). (negatif) - (pozitif) = (negatif).
  • Payda: \(b-c\). \(b < c\) olduğu için (küçük sayı) - (büyük sayı) = (negatif).
  • Sonuç: \(\frac{\text{negatif}}{\text{negatif}}\) = (pozitif). Bu ifade daima sıfırdan büyüktür.
• D) \(\frac{a+b}{c+a}\)
  • Pay: \(a+b\). \(a\) negatif, \(b\) pozitif. Mutlak değerlerine göre işaret değişebilir. Örneğin, \(a=-5, b=2 \Rightarrow a+b=-3\) (negatif); \(a=-2, b=5 \Rightarrow a+b=3\) (pozitif).
  • Payda: \(c+a\). \(c\) pozitif, \(a\) negatif. Mutlak değerlerine göre işaret değişebilir. Örneğin, \(c=3, a=-5 \Rightarrow c+a=-2\) (negatif); \(c=5, a=-2 \Rightarrow c+a=3\) (pozitif).
  • Hem pay hem de payda işaret değiştirebildiği için, bu ifadenin değeri daima sıfırdan büyük olmayabilir. Örneğin, \(a=-5, b=2, c=6\) için \(\frac{-5+2}{6+(-5)} = \frac{-3}{1} = -3 < 0\).

Yukarıdaki analizlere göre, daima sıfırdan büyük olan ifade C seçeneğidir.

Cevap C seçeneğidir.