Merhaba Sevgili 7. Sınıf Öğrencileri,

Bu ders notu, "Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi Test 1" testindeki konuları kapsayan ve sizlere sınav öncesi hızlı bir tekrar imkanı sunan kapsamlı bir rehberdir. Amacımız, tam sayılarla yapılan işlemleri pekiştirmenizi, sık yapılan hatalardan kaçınmanızı ve problem çözme becerilerinizi geliştirmenizi sağlamaktır. Hazırsanız, tam sayılar dünyasına dalalım!

Tam Sayılar Nedir?

• Tam sayılar, pozitif tam sayılar (+1, +2, +3, ...), negatif tam sayılar (-1, -2, -3, ...) ve sıfırdan (0) oluşan sayılar kümesidir.
• Sayı doğrusunda 0'ın sağında pozitif, solunda negatif tam sayılar bulunur.

Tam Sayılarla Çarpma İşlemi

Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken en önemli nokta işaret kurallarına dikkat etmektir.

• Aynı İşaretli İki Tam Sayının Çarpımı: Sonuç her zaman pozitiftir.
  (+). (+) = + (Örn: 3 . 5 = 15)
  (-). (-) = + (Örn: (-3) . (-5) = 15)
• Farklı İşaretli İki Tam Sayının Çarpımı: Sonuç her zaman negatiftir.
  (+). (-) = - (Örn: 3 . (-5) = -15)
  (-). (+) = - (Örn: (-3) . 5 = -15)

Çarpma İşleminin Özellikleri:

• Değişme Özelliği: Sayıların yerleri değişse de sonuç değişmez. (a . b = b . a)
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla sayı çarpılırken, hangi ikisinin önce çarpıldığı sonucu değiştirmez. (a . (b . c) = (a . b) . c)
• Yutan Eleman: Sıfır (0) çarpma işleminin yutan elemanıdır. Bir tam sayıyı 0 ile çarparsak sonuç her zaman 0 olur. (a . 0 = 0)
• Etkisiz (Birim) Eleman: Bir (1) çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. Bir tam sayıyı 1 ile çarparsak sonuç değişmez. (a . 1 = a)
• Ters Eleman: Bir tam sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayının 1'e bölümüdür. (Örn: 5'in tersi 1/5) (7. sınıf seviyesinde tam sayılar için genellikle sorulmaz, rasyonel sayılarda daha çok karşımıza çıkar.)

Modelleme:

• Pullarla Modelleme: Pozitif pullar (+) ve negatif pullar (-) kullanılarak çarpma işlemi görselleştirilebilir. Örneğin, 4 . (-3) işlemi, "4 tane -3 grubu" anlamına gelir ve 12 tane negatif pulu temsil eder.
• Sayı Doğrusunda Modelleme: Çarpma işlemi, sayı doğrusunda belirli bir yönde eşit adımlarla ilerleme olarak gösterilebilir. Örneğin, 3 . (-2) işlemi, 0'dan başlayarak sola doğru 2 birimlik 3 adım atmak anlamına gelir ve -6'ya ulaşılır.

⚠️ Dikkat: Birden fazla negatif sayının çarpımında, negatif sayıların adedi tek ise sonuç negatif, çift ise sonuç pozitif olur.

Tam Sayılarla Bölme İşlemi

Tam sayılarla bölme işlemi de çarpma işlemine benzer işaret kurallarına sahiptir.

• Aynı İşaretli İki Tam Sayının Bölümü: Sonuç her zaman pozitiftir.
  (+) : (+) = + (Örn: 15 : 3 = 5)
  (-) : (-) = + (Örn: (-15) : (-3) = 5)
• Farklı İşaretli İki Tam Sayının Bölümü: Sonuç her zaman negatiftir.
  (+) : (-) = - (Örn: 15 : (-3) = -5)
  (-) : (+) = - (Örn: (-15) : 3 = -5)

Bölme İşleminin Özellikleri:

• Sıfırın (0) bir tam sayıya bölümü (0 hariç) her zaman 0'dır. (0 : a = 0, a ≠ 0)
• Bir tam sayının sıfıra (0) bölümü tanımsızdır. (a : 0 = Tanımsız)
• Bir tam sayının 1'e bölümü sayının kendisidir. (a : 1 = a)
• Bir tam sayının -1'e bölümü, sayının işaretini değiştirir. (a : (-1) = -a)

Modelleme:

• Sayı Doğrusunda Modelleme: Bölme işlemi, sayı doğrusunda belirli bir noktadan 0'a veya başka bir noktaya eşit adımlarla kaç kez gidildiğini gösterir. Örneğin, (-12) : 3 işlemi, -12'den 0'a kaç tane +3 adımı ile gidileceğini (veya 0'dan -12'ye 3'er 3'er kaç adımda gidildiğini) ifade eder.

Tam Sayılarda İşlem Önceliği

Birden fazla işlem içeren sorularda doğru sonuca ulaşmak için işlem önceliği kurallarına uymak çok önemlidir:

1. Parantez İçindeki İşlemler: Her zaman ilk önce parantez içindeki işlemler yapılır.
2. Üslü İfadeler: Varsa üslü ifadelerin değeri hesaplanır.
3. Çarpma ve Bölme İşlemleri: Soldan sağa doğru sırayla yapılır.
4. Toplama ve Çıkarma İşlemleri: Soldan sağa doğru sırayla yapılır.

💡 İpucu: "PÜÇT" (Parantez, Üs, Çarpma/Bölme, Toplama/Çıkarma) kısaltması işlem önceliğini hatırlamanıza yardımcı olabilir.

Tam Sayılarla İlgili Problem Çözme ve Mantık Yürütme

• Tablo ve Şema Doldurma: Verilen kurallara (örn: satır/sütun çarpımları eşit) göre eksik sayıları bulurken tam sayı çarpma/bölme kurallarını dikkatlice uygulayın. Geriye doğru işlem yapmanız gerekebilir.
• En Büyük/En Küçük Değer Bulma: İki tam sayının çarpımı sabitken (örn: a . b = -36), toplamlarının (a + b) en büyük veya en küçük değerini bulmak için çarpanların birbirine en uzak veya en yakın olduğu durumları düşünün. Negatif sayılarla çalışırken işaretlere özellikle dikkat edin. Örneğin, çarpımı -36 olan sayılardan toplamı en büyük olan, bir pozitif büyük sayı ile bir negatif küçük sayı (mutlak değerce) çiftidir (örn: 36 ve -1).
• Ardışık Tam Sayılar: Ardışık çift veya tek tam sayılar arasındaki fark 2'dir. Ardışık tam sayılar arasındaki fark 1'dir. Bu ilişkileri kullanarak cebirsel ifadeleri basitleştirebilirsiniz. (Örn: x, x+2, x+4 gibi).
• Sayı Doğrusu Yorumlama: Sayı doğrusunda verilen aralıkların kaç eşit parçaya bölündüğünü belirleyerek bilinmeyen noktaların değerlerini bulun. Negatif sayılarda 0'dan uzaklaştıkça sayının küçüldüğünü unutmayın.

Genel İpuçları ve Sık Yapılan Hatalar

• ⚠️ Dikkat: Negatif sayıların çarpımı veya bölümünde işaret hatası en sık yapılan hatadır. İşaret kurallarını ezberlemek yerine mantığını anlamaya çalışın.
• 💡 İpucu: Uzun işlemlerde adımları tek tek yazmak, hata yapma olasılığınızı azaltır.
• ⚠️ Dikkat: "Eksi eksi artı yapar" kuralı sadece iki eksi işaretinin yan yana geldiği durumlarda (çıkarma işleminin tersi veya iki negatif sayının çarpımı/bölümü) geçerlidir. Örneğin, -3 - (-5) = -3 + 5 = 2 olurken, -3 - 5 = -8'dir.
• 💡 İpucu: Bir sayının 0 ile çarpımı her zaman 0'dır. Bu, uzun çarpım serilerinde (örn: -4'ten 5'e kadar olan sayıların çarpımı) çok işinize yarar. Eğer çarpanlar arasında 0 varsa, sonuç doğrudan 0'dır.

Bu ders notları, tam sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini daha iyi anlamanıza ve testteki soruları daha başarılı bir şekilde çözmenize yardımcı olacaktır. Bol pratik yaparak konuları pekiştirmeyi unutmayın! Başarılar dilerim!