Sorunun Çözümü
- Araç sayılarını temsil eden değişkenleri tanımlayalım:
- $n_1$: 0-2 saat (kod -2)
- $n_2$: 2-4 saat (kod -1)
- $n_3$: 4-6 saat (kod 0)
- $n_4$: 6-8 saat (kod 1)
- $n_5$: 8 saat ve üzeri (kod 2)
- Toplam 20 araç olduğu için: $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 = 20$
- Kodların toplamı 5 olduğu için: $-2n_1 - n_2 + 0n_3 + n_4 + 2n_5 = 5 \Rightarrow -2n_1 - n_2 + n_4 + 2n_5 = 5$
- Her aralıkta en az 1 araç olduğu için: $n_1 \ge 1$, $n_2 \ge 1$, $n_3 \ge 1$, $n_4 \ge 1$, $n_5 \ge 1$
- $n_2$'yi (2-4 saat aralığı) en fazla yapmak için, $n_1$ ve $n_3$'ü minimum değerleri olan $1$ olarak alalım. ($n_1$ negatif koda sahip, $n_3$ koda etki etmiyor.)
- Denklemleri güncelleyelim:
- $1 + n_2 + 1 + n_4 + n_5 = 20 \Rightarrow n_2 + n_4 + n_5 = 18$ (Denklem 1)
- $-2(1) - n_2 + n_4 + 2n_5 = 5 \Rightarrow -2 - n_2 + n_4 + 2n_5 = 5 \Rightarrow n_4 + 2n_5 = 7 + n_2$ (Denklem 2)
- Denklem 1'den $n_4 = 18 - n_2 - n_5$ ifadesini Denklem 2'ye yerine koyalım:
- $(18 - n_2 - n_5) + 2n_5 = 7 + n_2$
- $18 - n_2 + n_5 = 7 + n_2$
- $n_5 = 7 + n_2 - 18 + n_2 \Rightarrow n_5 = 2n_2 - 11$
- Şimdi $n_4$'ü bulalım:
- $n_4 = 18 - n_2 - n_5 = 18 - n_2 - (2n_2 - 11)$
- $n_4 = 18 - n_2 - 2n_2 + 11 \Rightarrow n_4 = 29 - 3n_2$
- $n_4 \ge 1$ ve $n_5 \ge 1$ koşullarını uygulayalım:
- $n_5 \ge 1 \Rightarrow 2n_2 - 11 \ge 1 \Rightarrow 2n_2 \ge 12 \Rightarrow n_2 \ge 6$
- $n_4 \ge 1 \Rightarrow 29 - 3n_2 \ge 1 \Rightarrow 28 \ge 3n_2 \Rightarrow n_2 \le \frac{28}{3} \Rightarrow n_2 \le 9.33...$
- $n_2$ bir tam sayı olduğu için $6 \le n_2 \le 9$ olmalıdır.
- $n_2$'nin en fazla değeri $9$'dur.
- Doğru Seçenek D'dır.