Soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözmek için aşağıdaki adımları izleyelim:

• Adım 1: Temel Prensibi Anlama

  Dişlilerde ipin sarıldığı yerlerin yarıçapları eşit olduğundan (bu yarıçapa \(r\) diyelim), bir dişli bir tam tur döndüğünde (\(2\pi\) radyan) ipin sarıldığı/çözüldüğü miktar \(L = 2\pi r\) olur. Bu, ilgili kütlenin düşey yer değiştirmesidir.

  Birbirine bağlı (temas eden) dişlilerde, diş sayıları (\(N\)) ve dönme açıları (\(\theta\)) arasında \(N_1 \theta_1 = N_2 \theta_2\) ilişkisi vardır. Ayrıca, temas eden dişliler zıt yönlerde dönerler.

  Kütlelerin düşey olarak birbirlerine uzaklıklarının daha fazla olması için, kütlelerin yer değiştirmelerinin mutlak farkı \(|h_1 - h_2|\) en büyük olmalıdır. Bu durum, kütlelerin zıt yönlerde hareket etmesi durumunda \(|h_1| + |h_2|\) olarak, aynı yönde hareket etmesi durumunda ise \(||h_1| - |h_2||\) olarak ifade edilir.

• Adım 2: Her Seçenek İçin Yer Değiştirmeleri Hesaplama

  Sol dişli bir tam tur (\(2\pi\) radyan) döndüğünde, sol kütlenin yer değiştirmesinin büyüklüğü her zaman \(|h_1| = 2\pi r\) olacaktır. Sağ kütlenin yer değiştirmesinin büyüklüğü ise \(|h_2| = \frac{N_{sol}}{N_{sağ}} \cdot 2\pi r\) olacaktır. Yönler, ok yönüne ve dişlilerin birbirine göre dönüş yönüne bağlıdır.

  • A) Sol: 30 Diş (Saat Yönü), Sağ: 10 Diş
    • Sol kütle: Saat yönü dönüş, ip çözülür \(\implies h_1 = 2\pi r\) (aşağı).
    • Sağ dişli: Sol dişli saat yönünde döndüğü için sağ dişli saat yönünün tersine döner.
      Açısal yer değiştirme: \(\theta_2 = \frac{30}{10} \cdot 2\pi = 6\pi\) radyan.
      Sağ kütle: Saat yönünün tersine dönüş, ip çözülür \(\implies h_2 = 6\pi r\) (aşağı).
    • Düşey uzaklık değişimi: İki kütle de aynı yönde (aşağı) hareket ettiği için, uzaklık değişimi \(|h_1 - h_2| = |2\pi r - 6\pi r| = 4\pi r\).
  • B) Sol: 40 Diş (Saat Yönü), Sağ: 20 Diş
    • Sol kütle: Saat yönü dönüş, ip çözülür \(\implies h_1 = 2\pi r\) (aşağı).
    • Sağ dişli: Sol dişli saat yönünde döndüğü için sağ dişli saat yönünün tersine döner.
      Açısal yer değiştirme: \(\theta_2 = \frac{40}{20} \cdot 2\pi = 4\pi\) radyan.
      Sağ kütle: Saat yönünün tersine dönüş, ip çözülür \(\implies h_2 = 4\pi r\) (aşağı).
    • Düşey uzaklık değişimi: İki kütle de aynı yönde (aşağı) hareket ettiği için, uzaklık değişimi \(|h_1 - h_2| = |2\pi r - 4\pi r| = 2\pi r\).
  • C) Sol: 30 Diş (Saat Yönünün Tersi), Sağ: 10 Diş
    • Sol kütle: Saat yönünün tersi dönüş, ip sarılır \(\implies h_1 = 2\pi r\) (yukarı).
    • Sağ dişli: Sol dişli saat yönünün tersine döndüğü için sağ dişli saat yönünde döner.
      Açısal yer değiştirme: \(\theta_2 = \frac{30}{10} \cdot 2\pi = 6\pi\) radyan.
      Sağ kütle: Saat yönü dönüş, ip çözülür \(\implies h_2 = 6\pi r\) (aşağı).
    • Düşey uzaklık değişimi: İki kütle zıt yönlerde hareket ettiği için, uzaklık değişimi \(|h_1| + |h_2| = 2\pi r + 6\pi r = 8\pi r\).
  • D) Sol: 40 Diş (Saat Yönünün Tersi), Sağ: 20 Diş
    • Sol kütle: Saat yönünün tersi dönüş, ip sarılır \(\implies h_1 = 2\pi r\) (yukarı).
    • Sağ dişli: Sol dişli saat yönünün tersine döndüğü için sağ dişli saat yönünde döner.
      Açısal yer değiştirme: \(\theta_2 = \frac{40}{20} \cdot 2\pi = 4\pi\) radyan.
      Sağ kütle: Saat yönü dönüş, ip çözülür \(\implies h_2 = 4\pi r\) (aşağı).
    • Düşey uzaklık değişimi: İki kütle zıt yönlerde hareket ettiği için, uzaklık değişimi \(|h_1| + |h_2| = 2\pi r + 4\pi r = 6\pi r\).
• Adım 3: Sonuçları Karşılaştırma

  Hesaplanan düşey uzaklık değişimleri:

  • A seçeneği: \(4\pi r\)
  • B seçeneği: \(2\pi r\)
  • C seçeneği: \(8\pi r\)
  • D seçeneği: \(6\pi r\)

  En büyük uzaklık değişimi \(8\pi r\) ile C seçeneğinde gerçekleşir.

Cevap C seçeneğidir.