Sorunun Çözümü
- Üçgenin alanı $S$ olmak üzere, kenarlar ve yükseklikler arasındaki ilişki $2S = a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$ şeklindedir.
- Verilen yükseklikler $h_a = 6 cm$, $h_b = 8 cm$, $h_c = 12 cm$'dir.
- Bu ilişkiden, kenar uzunlukları yüksekliklerle ters orantılıdır: $a = \frac{2S}{6}$, $b = \frac{2S}{8}$, $c = \frac{2S}{12}$.
- Kenarların oranını bulmak için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) kullanırız. EKOK(6, 8, 12) = 24'tür.
- Kenarların oranı $a:b:c = \frac{24}{6} : \frac{24}{8} : \frac{24}{12} = 4:3:2$ olur. Kenarları $a = 4k$, $b = 3k$, $c = 2k$ olarak ifade edebiliriz.
- Üçgenin alanı $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ formülüyle hesaplanır: $S = \frac{1}{2} \cdot (4k) \cdot 6 = 12k$.
- Üçgenin yarı çevresi $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4k+3k+2k}{2} = \frac{9k}{2}$'dir.
- Heron formülü $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ kullanılarak alan hesaplanır:
- $s-a = \frac{9k}{2} - 4k = \frac{k}{2}$
- $s-b = \frac{9k}{2} - 3k = \frac{3k}{2}$
- $s-c = \frac{9k}{2} - 2k = \frac{5k}{2}$
- $S = \sqrt{\frac{9k}{2} \cdot \frac{k}{2} \cdot \frac{3k}{2} \cdot \frac{5k}{2}} = \sqrt{\frac{135k^4}{16}} = \frac{k^2 \sqrt{135}}{4} = \frac{3k^2 \sqrt{15}}{4}$.
- İki alan ifadesini eşitleyelim: $12k = \frac{3k^2 \sqrt{15}}{4}$.
- Denklemi çözerek $k$ değerini buluruz: $48k = 3k^2 \sqrt{15} \Rightarrow 16 = k \sqrt{15} \Rightarrow k = \frac{16}{\sqrt{15}}$.
- $k$ değerini $S = 12k$ formülünde yerine koyalım: $S = 12 \cdot \frac{16}{\sqrt{15}} = \frac{192}{\sqrt{15}}$.
- Paydayı rasyonel hale getirelim ve kesri sadeleştirelim: $S = \frac{192 \sqrt{15}}{15} = \frac{64 \sqrt{15}}{5} cm^2$.
- Doğru Seçenek D'dır.