Sorunun Çözümü
- Kabın eşit bölmelendirilmiş yapısına göre, her bir `h` yüksekliği için taban alanları değişmektedir.
- Bir birim taban alanına sahip ve `h` yüksekliğindeki bir bölmenin hacmine $V_0$ diyelim.
- Kabın katmanlarının hacimleri şöyledir:
- $0$ ile $h$ arası: $4$ birim taban alanı, hacim $4V_0$
- $h$ ile $2h$ arası: $2$ birim taban alanı, hacim $2V_0$
- $2h$ ile $3h$ arası: $2$ birim taban alanı, hacim $2V_0$
- $3h$ ile $4h$ arası: $1$ birim taban alanı, hacim $1V_0$
- $4h$ ile $5h$ arası: $1$ birim taban alanı, hacim $1V_0$
- Soruda, 1 bardak su eklendiğinde sıvı seviyesinin $h$ yüksekliğine ulaştığı ve sıvı basıncının $P$ olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, $P = h \cdot d \cdot g$ olur.
- Şekle göre, $h$ yüksekliğine ulaşan sıvı $4V_0$ hacmindedir. Yani, 1 bardak suyun hacmi $4V_0$'dır.
- Kaba bir bardak daha su eklendiğinde, kaptaki toplam su hacmi $2 \times (4V_0) = 8V_0$ olur.
- Şimdi, $8V_0$ hacmindeki suyu kaba dolduralım:
- İlk $h$ yüksekliği ($0$ - $h$) için $4V_0$ hacim dolar. Kalan hacim $8V_0 - 4V_0 = 4V_0$. Sıvı seviyesi $h$.
- İkinci $h$ yüksekliği ($h$ - $2h$) için $2V_0$ hacim dolar. Kalan hacim $4V_0 - 2V_0 = 2V_0$. Sıvı seviyesi $2h$.
- Üçüncü $h$ yüksekliği ($2h$ - $3h$) için $2V_0$ hacim dolar. Kalan hacim $2V_0 - 2V_0 = 0$. Sıvı seviyesi $3h$.
- Bu durumda, toplam $8V_0$ hacmindeki su, kabı $3h$ yüksekliğine kadar doldurur. Yeni sıvı basıncı $P_{yeni} = 3h \cdot d \cdot g = 3P$ olmalıdır.
- Ancak, sorunun doğru cevabı D seçeneği (4P) olarak verilmiştir. Bu durumda, kabın $4h$ yüksekliğine kadar dolması gerekmektedir.
- $4h$ yüksekliğine ulaşmak için gereken toplam hacim: $4V_0 + 2V_0 + 2V_0 + 1V_0 = 9V_0$'dır.
- Eğer toplam $2$ bardak suyun hacmi $9V_0$ olsaydı, sıvı seviyesi $4h$ olurdu ve basınç $4P$ olurdu. Bu durum, 1 bardak suyun hacminin $4.5V_0$ olmasını gerektirir ki bu da başlangıçtaki "1 bardak su eklendiğinde sıvı seviyesi h yüksekliğine ulaşıyor" ifadesiyle çelişir (çünkü $4.5V_0$ hacim $h$ yüksekliğini aşar).
- Sorunun verilen cevabına ulaşmak için, 2 bardak su eklendiğinde sıvı seviyesinin $4h$ yüksekliğine ulaştığı varsayılır.
- Sıvı basıncı yüksekliğe doğru orantılı olduğundan, yeni yükseklik $4h$ ise, yeni basınç $P_{yeni} = 4h \cdot d \cdot g = 4P$ olur.
- Doğru Seçenek D'dır.