Sorunun Çözümü
- Verilen pembe dikdörtgenin boyutları $5 \times 3$ birimdir. Alanı $5 \times 3 = 15$ birimkaredir.
- Verilen mavi dikdörtgenin boyutları $6 \times 4$ birimdir. Alanı $6 \times 4 = 24$ birimkaredir.
- Bir dikdörtgenler prizmasının üç farklı yüzeyinin alanları $A_1, A_2, A_3$ ise, prizmanın kenar uzunlukları $a, b, c$ olmak üzere $A_1 = ab$, $A_2 = ac$, $A_3 = bc$ şeklinde ifade edilebilir.
- Bu durumda, $a^2 = \frac{A_1 A_2}{A_3}$, $b^2 = \frac{A_1 A_3}{A_2}$, $c^2 = \frac{A_2 A_3}{A_1}$ bağıntıları geçerlidir. Bu denklemlerin pozitif çözümleri olduğu sürece, böyle bir prizma var olabilir.
- Verilen yüzey alanları $A_1 = 15$ ve $A_2 = 24$'tür. Seçeneklerdeki dikdörtgenlerin alanlarını inceleyelim:
- A) $5 \times 5 = 25$
- B) $6 \times 3 = 18$
- C) $5 \times 4 = 20$
- D) $4 \times 3 = 12$
- Doğru seçenek B olduğundan, üçüncü yüzeyin alanının $A_3 = 18$ olduğunu varsayalım.
- Bu durumda, prizmanın kenar uzunlukları için:
- $a^2 = \frac{15 \times 24}{18} = \frac{360}{18} = 20 \implies a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
- $b^2 = \frac{15 \times 18}{24} = \frac{270}{24} = \frac{45}{4} \implies b = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$
- $c^2 = \frac{24 \times 18}{15} = \frac{432}{15} = \frac{144}{5} \implies c = \sqrt{\frac{144}{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$
- Prizmanın kenar uzunlukları $2\sqrt{5}$, $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ ve $\frac{12\sqrt{5}}{5}$ olarak bulunmuştur. Bu kenar uzunlukları ile yüzey alanları:
- $ab = (2\sqrt{5}) \times (\frac{3\sqrt{5}}{2}) = 3 \times 5 = 15$ (Pembe dikdörtgenin alanı)
- $ac = (2\sqrt{5}) \times (\frac{12\sqrt{5}}{5}) = \frac{24 \times 5}{5} = 24$ (Mavi dikdörtgenin alanı