Sorunun Çözümü
Verilen kare prizma açınımını kapalı hâle getirdiğimizde hangi noktaların üst üste geleceğini adım adım belirleyelim:
- Öncelikle prizmanın yan yüzeylerini oluşturan şeridi ve tabanları belirleyelim. Yan yüzeyler 1-2-13-14, 2-5-12-13, 5-6-11-12 ve 6-7-8-11 dikdörtgenleridir. Üst taban 2-3-4-5 karesi, alt taban ise 10-11-12-13 karesidir.
- Yan yüzeyler birleştiğinde, 1-14 kenarı ile 7-8 kenarı üst üste gelir. Bu durumda 1 ile 7 ve 14 ile 8 noktaları üst üste gelir.
- Üst taban (2-3-4-5) katlandığında:
- 2-3 kenarı, 1-2 kenarı ile üst üste gelir. Bu durumda 3 ile 1 noktaları üst üste gelir.
- 4-5 kenarı, 5-6 kenarı ile üst üste gelir. Bu durumda 4 ile 6 noktaları üst üste gelir.
- Alt taban (10-11-12-13) katlandığında:
- 10-11 kenarı, 8-11 kenarı ile üst üste gelir. Bu durumda 10 ile 8 noktaları üst üste gelir.
- 12-13 kenarı, 13-14 kenarı ile üst üste gelir. Bu durumda 12 ile 14 noktaları üst üste gelir.
- Şimdi üst üste gelen tüm noktaları gruplayalım:
- Üst köşeler: $(1, 3, 7)$, $(2)$, $(5)$, $(4, 6)$
- Alt köşeler: $(13)$, $(11)$, $(8, 10, 12, 14)$
- Şekilde 8, 9, 10 noktaları bir doğru üzerinde yer almaktadır. Eğer 8 ve 10 noktaları üst üste gelirse, aralarındaki 9 noktası da bu aynı noktaya gelir. Dolayısıyla, alt köşelerden biri $(8, 9, 10, 12, 14)$ olur.
- Bu durumda prizmanın 8 köşesi şunlardır:
- Üst köşeler: $K_1 = \{1, 3, 7\}$, $K_2 = \{2\}$, $K_3 = \{5\}$, $K_4 = \{4, 6\}$
- Alt köşeler: $K_5 = \{13\}$, $K_6 = \{11\}$, $K_7 = \{8, 9, 10, 12, 14\}$
- Bu liste 7 köşe vermektedir. Kare prizmanın 8 köşesi olmalıdır. Bu, 13 ve 11'in de birleştiği veya 8,9,10,12,14'ün tek bir köşe olmadığı anlamına gelir. Açınımı dikkatlice incelediğimizde, 10-