Sorunun Çözümü
- Verilen silindirin yarıçapı $r$ ve yüksekliği $H$ olsun. Taban çapı $D = 2r$.
- Soruda taban çapı yüksekliğin yarısına eşit denmiş: $D = H/2 \Rightarrow 2r = H/2 \Rightarrow H = 4r$.
- Silindirin hacmi $V = \pi r^2 H$ formülüyle bulunur. Verilen hacim $500\pi cm^3$.
- $500\pi = \pi r^2 (4r) \Rightarrow 500 = 4r^3 \Rightarrow r^3 = 125 \Rightarrow r = 5 cm$.
- Silindirin yüksekliği $H = 4r = 4 \times 5 = 20 cm$. Taban çapı $D = 2r = 10 cm$.
- Kutuya yerleştirilecek cisimlerin yüksekliği en fazla $20 cm$ olmalı ve tabanı, çapı $10 cm$ olan dairenin içine sığmalıdır. Bu da cismin tabanının en uzun köşegeninin (veya çapının) $10 cm$'den küçük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir.
- A) Üçgen prizma: Yüksekliği $10 cm \le 20 cm$. Tabanı dik üçgen, kenarları $6 cm$ ve $8 cm$. Hipotenüsü $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 cm$. Dik üçgenin çevrel çemberinin çapı hipotenüse eşittir, yani $10 cm$. Bu da $10 cm$ çapa sığar. (Yerleştirilebilir)
- B) Silindir: Yüksekliği $15 cm \le 20 cm$. Taban yarıçapı $3\sqrt{2} cm$. Taban çapı $2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} cm$. Yaklaşık $6 \times 1.414 = 8.484 cm$. Bu da $10 cm$ çapa sığar. (Yerleştirilebilir)
- C) Küp: Yüksekliği $8 cm \le 20 cm$. Tabanı $8 cm$ kenarlı karedir. Karenin köşegeni $8\sqrt{2} cm$. Yaklaşık $8 \times 1.414 = 11.312 cm$. Bu değer $10 cm$'den büyük olduğu için tabanı $10 cm$ çaplı daireye sığmaz. (Yerleştirilemez)
- D) Dikdörtgenler prizması: Yüksekliği $20 cm \le 20 cm$. Tabanı $6 cm$ kenarlı karedir. Karenin köşegeni $6\sqrt{2} cm$. Yaklaşık $6 \times 1.414 = 8.484 cm$. Bu da $10 cm$ çapa sığar. (Yerleştirilebilir)
- Doğru Seçenek C'dır.