Verilen soruda bir dik koni ve bu koninin açınımı bulunmaktadır. $\alpha$ açısını bulmak için koninin taban yarıçapını hesaplamamız ve bu yarıçapı açınım formülüyle ilişkilendirmemiz gerekmektedir.

• 1. Koninin Taban Yarıçapını (r) Bulma:

Koninin yüksekliği (h), taban yarıçapı (r) ve ana doğrusu (l) arasında Pisagor bağıntısı vardır: $r^2 + h^2 = l^2$.

Verilenler: $h = \sqrt{119}$ cm, $l = 12$ cm.

$r^2 + (\sqrt{119})^2 = 12^2$

$r^2 + 119 = 144$

$r^2 = 144 - 119$

$r^2 = 25$

$r = 5$ cm.

• 2. Koninin Taban Çevresini Hesaplama:

Koninin taban çevresi (C), açınımda oluşan daire diliminin yay uzunluğuna eşittir.

$C = 2 \pi r$

$\pi = 3$ olarak alındığında:

$C = 2 \times 3 \times 5 = 30$ cm.

• 3. Daire Diliminin Yay Uzunluğu Formülünü Kullanma:

Açınımda oluşan daire diliminin yarıçapı, koninin ana doğrusuna (l) eşittir, yani $R_{dilim} = l = 12$ cm.

Daire diliminin yay uzunluğu formülü: $Yay Uzunluğu = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi R_{dilim}$

Yay uzunluğu, koninin taban çevresine eşit olduğundan:

$30 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \times 3 \times 12$

$30 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 72$

• 4. $\alpha$ Açısını Bulma:

Denklemi $\alpha$ için çözelim:

$\alpha = \frac{30 \times 360^\circ}{72}$

$\alpha = 30 \times 5$ (çünkü $360 / 72 = 5$)

$\alpha = 150^\circ$

Cevap D seçeneğidir.