Verilen problemde, kare şeklindeki bir kâğıttan dik dairesel koninin açınımı kesilip atılmıştır. Bu açınım, bir daire dilimi (koninin yanal yüzeyi) ve bir daireden (koninin tabanı) oluşmaktadır.
- Adım 1: Koni tabanının yarıçapını (r) hesaplayın.
Daire diliminin tepe noktası A'dır. Daire diliminin yarıçapı (koninin ana doğrusu) $l = 8$ cm olarak verilmiştir. Merkez açısı $\alpha = 90^\circ$ olarak belirtilmiştir.
Daire diliminin yay uzunluğu, koninin taban dairesinin çevresine eşittir. Yay uzunluğu $L = 2 \pi l \frac{\alpha}{360^\circ}$ formülüyle bulunur.
$L = 2 \pi (8) \frac{90}{360} = 2 \pi (8) \frac{1}{4} = 4 \pi$ cm.
Koninin taban dairesinin çevresi $C = 2 \pi r$ formülüyle bulunur. $4 \pi = 2 \pi r \implies r = 2$ cm.
Yani, koninin taban dairesinin yarıçapı 2 cm'dir.
- Adım 2: A noktası ile taban dairesinin merkezi ($C_B$) arasındaki mesafeyi bulun.
Şekilde, taban dairesi (yarıçapı $r=2$ cm) daire diliminin yayı ile teğettir. A noktası daire diliminin merkezidir (koninin tepe noktası). $C_B$ ise taban dairesinin merkezidir.
İki daire dıştan teğet olduğunda, merkezleri arasındaki uzaklık yarıçaplarının toplamına eşittir. Burada daire diliminin yayı, A merkezli $l=8$ cm yarıçaplı bir dairenin parçasıdır. Taban dairesi ise $C_B$ merkezli $r=2$ cm yarıçaplı bir dairedir. Şekildeki konumlarına göre bu iki daire dıştan teğettir.
$dist(A, C_B) = l + r = 8 + 2 = 10$ cm.
- Adım 3: B noktasının konumunu belirleyin ve A ile B arasındaki mesafeyi hesaplayın.
Şeklin simetrisinden dolayı, A noktası, $C_B$ noktası ve B noktası aynı dikey doğru üzerindedir.
B noktası, taban dairesinin en alt noktasıdır. Bu durumda, $C_B$ noktasından B noktasına olan uzaklık, taban dairesinin yarıçapı $r$'ye eşittir.
$dist(C_B, B) = r = 2$ cm.
A ile B arasındaki en kısa uzaklık, bu iki mesafenin toplamıdır:
$AB = dist(A, C_B) + dist(C_B, B) = 10 + 2 = 12$ cm.
Cevap A seçeneğidir.