Verilen problemde, yanal yüzeyinin açınımı bir daire dilimi olan dik koninin cisim yüksekliğini bulmamız isteniyor.

• Adım 1: Koninin ana doğrusunu (yanal yüzeyin yarıçapı) belirleyelim.

Açınımda verilen daire diliminin yarıçapı, koninin ana doğrusuna (eğik yüksekliğine) eşittir. Bu değeri \(l\) ile gösterelim.

\(l = 15 \text{ cm}\)

• Adım 2: Koninin taban yarıçapını bulalım.

Daire diliminin yay uzunluğu, koninin taban çevresine eşittir. Daire diliminin merkez açısı \(\theta = 120^\circ\).

Daire diliminin yay uzunluğu formülü: \(L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi l\)

Koninin taban çevresi formülü: \(C = 2\pi r\)

Bu iki ifadeyi eşitleyelim:

\(2\pi r = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi (15)\)

\(2\pi r = \frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 15\)

Her iki tarafı \(2\pi\) ile bölelim:

\(r = \frac{1}{3} \cdot 15\)

\(r = 5 \text{ cm}\)

• Adım 3: Koninin yüksekliğini (h) hesaplayalım.

Dik konide, taban yarıçapı (\(r\)), yükseklik (\(h\)) ve ana doğru (\(l\)) bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoremini kullanarak yüksekliği bulabiliriz:

\(h^2 + r^2 = l^2\)

Bulduğumuz değerleri yerine yazalım (\(r=5\), \(l=15\)):

\(h^2 + 5^2 = 15^2\)

\(h^2 + 25 = 225\)

\(h^2 = 225 - 25\)

\(h^2 = 200\)

\(h = \sqrt{200}\)

\(h = \sqrt{100 \cdot 2}\)

\(h = 10\sqrt{2} \text{ cm}\)

Cevap A seçeneğidir.