Koninin açınımı verildiğinde, dairesel sektörün (T-A-B) yay uzunluğu, koninin taban dairesinin çevresine eşit olur. Bu ilişkiyi kullanarak merkez açıyı bulabiliriz.
- Koninin Taban Çevresini Hesaplama:
Koninin taban yarıçapı \(r = 2\) cm olarak verilmiştir. Taban çevresi \(C\) şu formülle bulunur:
\(C = 2 \pi r\)
\(C = 2 \pi (2) = 4 \pi\) cm
- Dairesel Sektörün Yay Uzunluğunu Hesaplama:
Dairesel sektörün (T-A-B) yarıçapı, koninin ana doğrusunun uzunluğuna eşittir, yani \(l = 12\) cm. Sektörün merkez açısı \(m(\widehat{ATB})\) veya \(\theta\) olsun. Sektörün yay uzunluğu \(L\) şu formülle bulunur:
\(L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2 \pi l\)
\(L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2 \pi (12)\)
\(L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 24 \pi\)
- Yay Uzunluğu ile Taban Çevresini Eşitleme ve \(\theta\)'yı Bulma:
Koninin açınımında, sektörün yay uzunluğu taban çevresine eşit olmalıdır (\(L = C\)):
\(\frac{\theta}{360^\circ} \cdot 24 \pi = 4 \pi\)
Her iki tarafı \(\pi\) ile bölelim:
\(\frac{\theta}{360^\circ} \cdot 24 = 4\)
Denklemi \(\theta\) için çözelim:
\(24 \theta = 4 \cdot 360^\circ\)
\(24 \theta = 1440^\circ\)
\(\theta = \frac{1440^\circ}{24}\)
\(\theta = 60^\circ\)
Buna göre, \(m(\widehat{ATB})\) açısı 60 derecedir.
Cevap A seçeneğidir.