Sorunun Çözümü
- Verilen kurala göre süslerin yerden yükseklikleri bir geometrik dizi oluşturur: $8$ cm, $16$ cm, $32$ cm, $64$ cm, $128$ cm. Her bir yükseklik, bir öncekinin iki katıdır.
- İkinci ağaca 6 tane süs takılacağına göre, süslerin yükseklikleri sırasıyla $8$ cm, $16$ cm, $32$ cm, $64$ cm, $128$ cm ve $256$ cm olacaktır.
- Ağacın en az 6 süsü taşıyabilmesi için, ağacın yüksekliği ($H$) en yüksek süsün yüksekliğinden az olmamalıdır. Bu durumda, ağacın yüksekliği en az $256$ cm olmalıdır. Yani, $H = 256$ cm.
- Ağacın taban yarıçapı $R = 192$ cm olarak verilmiştir. Koni şeklindeki ağacın ana doğrusu ($L$), yükseklik ($H$) ve taban yarıçapı ($R$) arasındaki ilişki Pisagor teoremi ile bulunur: $L^2 = H^2 + R^2$.
- Değerleri yerine koyarsak: $L^2 = (256)^2 + (192)^2$.
- Sayıları sadeleştirelim: $256 = 64 \times 4$ ve $192 = 64 \times 3$.
- $L^2 = (64 \times 4)^2 + (64 \times 3)^2 = 64^2 \times 4^2 + 64^2 \times 3^2 = 64^2 \times (16 + 9) = 64^2 \times 25$.
- $L = \sqrt{64^2 \times 25} = 64 \times 5 = 320$ cm.
- Ana doğrunun tam sayı olması ve en az değeri alması için, ağaç yüksekliğinin minimum tam sayı değeri olan $256$ cm alınmıştır. Bu durumda ana doğru $320$ cm olarak bulunur.
- Doğru Seçenek B'dır.