Bu problemde, bir kare piramidin tepe noktasından farklı yüksekliklerde yer alan iki kare kesit ve piramidin yan ayrıtının bu kesitler arasında kalan kısmının uzunluğu istenmektedir.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Belirleme
- Küçük karenin kenar uzunluğu (\(s_1\)): 6 cm
- Küçük karenin piramidin tepe noktasına uzaklığı (\(h_1\)): 6 cm
- Büyük karenin kenar uzunluğu (\(s_2\)): 8 cm
- Büyük karenin piramidin tepe noktasına uzaklığı (\(h_2\)): 8 cm
Görüldüğü üzere, her iki kare için de kenar uzunluğu ile tepe noktasına olan uzaklık birbirine eşittir (\(s_1 = h_1\) ve \(s_2 = h_2\)). Bu durum, piramidin tepe noktasından herhangi bir kare kesite kadar olan yüksekliğin, o kesitin kenar uzunluğuna eşit olduğunu gösterir.
- Adım 2: Yan Ayrıt Uzunluğunu Hesaplama Formülü
Bir kare piramidin tepe noktasından, taban kenarı \(s\) olan bir kare kesitin köşesine olan yan ayrıt uzunluğunu (\(l\)) bulmak için Pisagor teoremini kullanırız. Bu üçgenin kenarları şunlardır:
- Piramidin tepe noktasından kesitin merkezine olan yükseklik (\(h\)).
- Kesitin merkezinden köşesine olan uzaklık (bu, karenin köşegeninin yarısıdır: \(\frac{s\sqrt{2}}{2}\)).
- Yan ayrıt uzunluğu (\(l\)).
Pisagor teoremine göre: \(l^2 = h^2 + \left(\frac{s\sqrt{2}}{2}\right)^2\)
\(l^2 = h^2 + \frac{s^2 \cdot 2}{4}\)
\(l^2 = h^2 + \frac{s^2}{2}\)
- Adım 3: Küçük Kare İçin Yan Ayrıt Uzunluğunu Hesaplama (\(l_1\))
\(s_1 = 6\) cm ve \(h_1 = 6\) cm olduğu için:
\(l_1^2 = 6^2 + \frac{6^2}{2}\)
\(l_1^2 = 36 + \frac{36}{2}\)
\(l_1^2 = 36 + 18\)
\(l_1^2 = 54\)
\(l_1 = \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\) cm
- Adım 4: Büyük Kare İçin Yan Ayrıt Uzunluğunu Hesaplama (\(l_2\))
\(s_2 = 8\) cm ve \(h_2 = 8\) cm olduğu için:
\(l_2^2 = 8^2 + \frac{8^2}{2}\)
\(l_2^2 = 64 + \frac{64}{2}\)
\(l_2^2 = 64 + 32\)
\(l_2^2 = 96\)
\(l_2 = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}\) cm
- Adım 5: İki Kare Arasında Kalan Yan Ayrıt Kısmının Uzunluğunu Bulma
İki kare arasında kalan yan ayrıt kısmının uzunluğu, büyük karenin yan ayrıt uzunluğundan küçük karenin yan ayrıt uzunluğunun çıkarılmasıyla bulunur:
\(\Delta l = l_2 - l_1\)
\(\Delta l = 4\sqrt{6} - 3\sqrt{6}\)
\(\Delta l = \sqrt{6}\) cm
Cevap C seçeneğidir.