Sorunun Çözümü
- Kutunun yüksekliğini ($H$) ve yarıçapını ($r$) bulalım. Taban çapı yüksekliğin yarısı olduğundan $2r = H/2 \implies r = H/4$.
- Hacim formülü $V = \pi r^2 H$'dir. Verilen hacim $500\pi$ $cm^3$'tür.
- $\pi (H/4)^2 H = 500\pi \implies \pi (H^2/16) H = 500\pi \implies H^3/16 = 500 \implies H^3 = 8000$.
- Buradan $H = 20$ $cm$ bulunur. Yarıçap $r = H/4 = 20/4 = 5$ $cm$ olur. Kutunun taban çapı $10$ $cm$'dir.
- Kutuya yerleştirilebilecek bir cismin yüksekliği $20$ $cm$'den fazla olmamalı ve tabanı çapı $10$ $cm$ olan bir dairenin içine sığmalıdır.
- A) Üçgen Prizma: Yüksekliği $10$ $cm$ ($10 \le 20$). Tabanı $6$ $cm$ ve $8$ $cm$ kenarlı bir dik üçgen ise hipotenüsü $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ $cm$'dir. Bu üçgen, çapı $10$ $cm$ olan bir daireye sığabilir. Bu cisim yerleştirilebilir.
- B) Silindir: Yüksekliği $15$ $cm$ ($15 \le 20$). Yarıçapı $3\sqrt{2}$ $cm$ olduğundan çapı $6\sqrt{2} \approx 8.48$ $cm$'dir. Kutunun çapı $10$ $cm$ olduğu için $8.48 < 10$. Bu cisim yerleştirilebilir.
- C) Küp: Yüksekliği $8$ $cm$ ($8 \le 20$). Tabanı $8$ $cm$ kenarlı bir karedir. Karenin köşegen uzunluğu $8\sqrt{2} \approx 11.31$ $cm$'dir. Kutunun taban çapı $10$ $cm$ olduğu için $11.31 > 10$. Bu küpün tabanı kutunun tabanına sığmaz. Bu cisim yerleştirilemez.
- D) Dikdörtgen Prizma: Yüksekliği $20$ $cm$ ($20 \le 20$). Tabanı $6$ $cm$ kenarlı bir karedir. Karenin köşegen uzunluğu $6\sqrt{2} \approx 8.48$ $cm$'dir. Kutunun taban çapı $10$ $cm$ olduğu için $8.48 < 10$. Bu cisim yerleştirilebilir.
- Doğru Seçenek C'dır.