Sorunun Çözümü
- Yapıdaki silindirlerin boyutlarını belirleyelim:
- En küçük silindirin yarıçapı $r_k$, yüksekliği $h_k$ olsun. Soruda $h_k = r_k$ ve görselde $h_k = h$ olarak verilmiştir. Bu durumda $r_k = h$ olur.
- Diğer iki silindirin yarıçapı $r_o$ olsun. Soruda $r_k = r_o / 2$ denildiği için $r_o = 2r_k = 2h$ olur.
- Görseldeki yüksekliklere göre:
- En küçük silindir (üstteki): Yarıçapı $r_1 = h$, Yüksekliği $h_1 = h$.
- Ortadaki silindir: Yarıçapı $r_2 = 2h$, Yüksekliği $h_2 = 2h$.
- En büyük silindir (sağdaki): Yarıçapı $r_3 = 2h$, Yüksekliği $h_3 = 3h$.
- Boyanan toplam yüzey alanını hesaplayalım:
- Yapı iki ayrı binadan oluşmaktadır.
- Soldaki bina (iki silindirin üst üste konulmasıyla oluşan):
- Alt silindirin taban alanı: $\pi (2h)^2 = 4\pi h^2$.
- Alt silindirin yanal alanı: $2\pi (2h)(2h) = 8\pi h^2$.
- Üst silindirin yanal alanı: $2\pi (h)(h) = 2\pi h^2$.
- Üst silindirin üst taban alanı: $\pi (h)^2 = \pi h^2$.
- Alt silindirin üst yüzeyinde kalan halka alanı: $\pi (2h)^2 - \pi (h)^2 = 3\pi h^2$.
- Soldaki binanın toplam alanı: $4\pi h^2 + 8\pi h^2 + 2\pi h^2 + \pi h^2 + 3\pi h^2 = 18\pi h^2$.
- Sağdaki bina (tek silindir):
- Taban alanı: $\pi (2h)^2 = 4\pi h^2$.
- Yanal alanı: $2\pi (2h)(3h) = 12\pi h^2$.
- Üst taban alanı: $\pi (2h)^2 = 4\pi h^2$.
- Sağdaki binanın toplam alanı: $4\pi h^2 + 12\pi h^2 + 4\pi h^2 = 20\pi h^2$.
- Soldaki bina (iki silindirin üst üste konulmasıyla oluşan):
- Toplam boyanan alan: $18\pi h^2 + 20\pi h^2 = 38\pi h^2$.
- Yapı iki ayrı binadan oluşmaktadır.
- $h$ değerini bulalım:
- Verilen toplam boyanan alan $1824 cm^2$ ve $\pi = 3$.
- $1824 = 38 \times 3 \times h^2$
- $1824 = 114 h^2$
- $h^2 = 1824 / 114 = 16$
- $h = 4$ cm.
- En büyük silindirin hacmini hesaplayalım:
- En büyük silindir, sağdaki binadır. Yarıçapı $r_3 = 2h = 2 \times 4 = 8$ cm. Yüksekliği $h_3 = 3h = 3 \times 4 = 12$ cm.
- Hacim formülü $V = \pi r^2 h$.
- $V_{büyük} = 3 \times (8)^2 \times 12$
- $V_{büyük} = 3 \times 64 \times 12$
- $V_{büyük} = 192 \times 12 = 2304 cm^3$.
- Doğru Seçenek A'dır.