Verilen problemde, kenar uzunlukları 30 cm ve 70 cm olan dikdörtgen bir kartona bir dik silindirin açınımı çizilmiştir. Bizden bu silindirin yüksekliği istenmektedir (\(\pi = 3\) alınız). Doğru cevap D seçeneğidir.

• Silindirin Açınımının Boyutlarını Belirleme:

  Bir dik silindirin açınımı, bir dikdörtgen (yan yüzey) ve iki daireden (tabanlar) oluşur.

  • Silindirin yüksekliği \(h\) olsun. Yan yüzey dikdörtgeninin bir kenarı \(h\) olacaktır.
  • Silindirin taban yarıçapı \(r\) olsun. Yan yüzey dikdörtgeninin diğer kenarı taban çevresi olan \(2\pi r\) olacaktır.
  • Taban dairelerinin çapı \(2r\) olacaktır.

  Açınım, yan yüzey dikdörtgeni ve bu dikdörtgenin iki uzun kenarına iliştirilmiş iki daire şeklinde düzenlenir. Bu durumda açınımın toplam boyutları:

  • Açınımın yüksekliği: \(h\)
  • Açınımın toplam genişliği: \(2r \text{ (sol daire çapı)} + 2\pi r \text{ (dikdörtgen genişliği)} + 2r \text{ (sağ daire çapı)} = 4r + 2\pi r\)
• Açınımın Kartona Sığma Koşulları:

  Açınım, 30 cm x 70 cm boyutlarındaki kartona sığmalıdır. Sorunun cevabı 50 cm olduğuna göre, silindirin yüksekliği (\(h\)) kartonun 70 cm'lik kenarına paralel yerleştirilmelidir.

  • Açınımın yüksekliği kartonun 70 cm'lik kenarına sığmalı: \(h \le 70\) cm.
  • Açınımın toplam genişliği kartonun 30 cm'lik kenarına sığmalı: \(4r + 2\pi r \le 30\) cm.
  • Ayrıca, taban dairelerinin çapı da kartonun 30 cm'lik kenarına sığmalı: \(2r \le 30\) cm.
• Yarıçapı (\(r\)) Hesaplama:

  Genişlik eşitsizliğini \(\pi = 3\) alarak çözelim:

  \(4r + 2(3)r \le 30\)

  \(4r + 6r \le 30\)

  \(10r \le 30\)

  \(r \le 3\) cm.

  Bu \(r \le 3\) cm koşulu, \(2r \le 30\) cm koşulunu da sağlar (\(2r \le 6\) cm olduğu için).

• Yüksekliği (\(h\)) Belirleme:

  Silindirin yüksekliğinin tek bir değer olması istendiğinden ve kartonun en verimli şekilde kullanıldığı varsayıldığından, \(r\) için maksimum değeri alalım: \(r = 3\) cm.

  Bu durumda, açınımın toplam genişliği \(4(3) + 2(3)(3) = 12 + 18 = 30\) cm olur. Bu, kartonun 30 cm'lik genişliğini tam olarak kullanır.

  Silindirin yüksekliği \(h\) ise kartonun 70 cm'lik kenarına sığmalıdır (\(h \le 70\) cm). Seçenekler arasında 50 cm bulunmaktadır. Bu değer 70 cm'den küçüktür ve diğer koşulları da sağlamaktadır. Bu senaryoda 50 cm, silindirin yüksekliği için uygun bir değerdir.

  Buna göre, silindirin yüksekliği 50 cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.