Adım 1: Küpün kenar uzunluğunu belirleme.

Soruda verilen bilgiye göre, küp şeklindeki tahta blokta üst yüzeyden alt yüzeye kadar 4 cm taban ayrıt uzunluğuna sahip kare dik prizma şeklinde bir delik açılmıştır. Herhangi bir yan yüzün ortasından matkapla delik açıldığında, matkap ucunun uzunluğu en az 10 cm olduğunda bu delik kare prizma şeklindeki deliğe ulaşmaktadır.

Küpün bir kenar uzunluğuna $a$ diyelim. Kare prizma deliği küpün merkezinde yer aldığından, bir yan yüzün ortasından deliğe olan en kısa mesafe $\frac{a - \text{kare prizma taban ayrıtı}}{2}$ formülüyle bulunur.

Bu mesafe 10 cm olarak verildiğine göre:

$\frac{a - 4}{2} = 10$

$a - 4 = 20$

$a = 24$ cm.

Buna göre, küpün bir kenar uzunluğu 24 cm'dir.

Adım 2: Kare prizma deliğinin konumunu belirleme.

Küpün kenar uzunluğu 24 cm olduğuna göre, küpü bir koordinat sisteminde $0 \le x, y, z \le 24$ olarak düşünebiliriz. Kare prizma deliği, taban ayrıtı 4 cm olan ve küpün merkezinde yer alan bir deliktir. Bu durumda, deliğin x ve y koordinatları için aralıklar şunlardır:

• $x_{min} = \frac{24-4}{2} = 10$ cm
• $x_{max} = \frac{24+4}{2} = 14$ cm
• $y_{min} = \frac{24-4}{2} = 10$ cm
• $y_{max} = \frac{24+4}{2} = 14$ cm

Yani, kare prizma deliği $10 \le x \le 14$ ve $10 \le y \le 14$ aralığında yer almaktadır (z ekseni boyunca tüm küpü kapsar).

Adım 3: Yan ayrıtın ortasından açılan delik için matkap ucunun uzunluğunu hesaplama.

Şimdi matkap, tahta bloğun bir yan ayrıtının (dikey kenarının) ortasından delik açacaktır. Küpün bir yan ayrıtının ortasını, örneğin $(0, 0, 12)$ noktası olarak alabiliriz (x=0, y=0 kenarının orta noktası, z=a/2=12).

Matkap ucunun kare prizma şeklindeki deliğe ulaşması için gereken en kısa mesafe, başlangıç noktası $(0, 0, 12)$ ile kare prizma deliği $([10, 14] \times [10, 14] \times [0, 24])$ arasındaki en kısa mesafedir.

Başlangıç noktasının z koordinatı (12) deliğin z aralığı içinde olduğundan, sadece xy düzlemindeki mesafeyi hesaplamamız yeterlidir. Yani, $(0, 0)$ noktasından $[10, 14] \times [10, 14]$ karesine olan en kısa mesafeyi bulmalıyız.

Bu kareye en yakın nokta, karenin köşesi olan $(10, 10)$ noktasıdır.

İki nokta arasındaki mesafe formülü kullanılarak:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

$d = \sqrt{(10-0)^2 + (10-0)^2}$

$d = \sqrt{10^2 + 10^2}$

$d = \sqrt{100 + 100}$

$d = \sqrt{200}$

$d = \sqrt{100 \times 2}$

$d = 10\sqrt{2}$ cm.

Bu durumda, matkap ucunun uzunluğu en az $10\sqrt{2}$ cm olmalıdır.

Cevap D seçeneğidir.