🎓 8. Sınıf Öteleme Test 4 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, koordinat sisteminde noktaların ve şekillerin ötelenmesi konusunu kapsamaktadır. Testteki sorular, ötelemenin temel prensiplerini, farklı yönlerdeki öteleme hareketlerini, çok adımlı ötelemeleri, şekillerin ötelenmesini ve ötelenen şekillerin kesişim alanlarını bulmayı içermektedir. Bu notlar, konuyu pekiştirmen ve sınavlara hazırlanırken başvurabileceğin kapsamlı bir kaynak olacaktır. 🚀

Koordinat Sistemi ve Temelleri 🗺️

Koordinat sistemi, bir noktanın veya şeklin konumunu belirlememizi sağlayan iki boyutlu bir düzlemdir. Bu sistemde iki ana eksen bulunur:

• x ekseni (apsis ekseni): Yatay eksendir. Bir noktanın sağa veya sola ne kadar uzaklıkta olduğunu gösterir.
• y ekseni (ordinat ekseni): Dikey eksendir. Bir noktanın yukarı veya aşağı ne kadar uzaklıkta olduğunu gösterir.
• Orijin (Başlangıç Noktası): x ve y eksenlerinin kesiştiği noktadır ve koordinatları (0, 0) dır.
• Noktaların Gösterimi: Bir nokta, (x, y) şeklinde iki koordinatla gösterilir. İlk sayı x koordinatını, ikinci sayı y koordinatını ifade eder.
• Bölgeler (Kuşaklar): Koordinat sistemi dört bölgeye ayrılır.
  • 1. Bölge: x > 0, y > 0 (Örn: (3, 5))
  • 2. Bölge: x < 0, y > 0 (Örn: (-2, 4))
  • 3. Bölge: x < 0, y < 0 (Örn: (-1, -6))
  • 4. Bölge: x > 0, y < 0 (Örn: (5, -3))

Öteleme Nedir? ➡️⬆️

Öteleme, bir noktanın veya şeklin koordinat sisteminde belirli bir yönde ve belirli bir mesafe kadar kaydırılması hareketidir. Bu hareket sırasında şeklin boyutu, şekli ve yönü değişmez; sadece konumu değişir. Tıpkı bir satranç taşını tahta üzerinde hareket ettirmek gibi düşünebilirsin. ♟️

• Öteleme, bir dönüşüm geometrisi çeşididir.
• Ötelenen şeklin veya noktanın görüntüsü, orijinaliyle eş olur.

Noktaların Koordinat Düzleminde Ötelenmesi 📍

Bir (x, y) noktasının ötelenmesi, koordinatlarına belirli bir miktar eklenmesi veya çıkarılmasıyla yapılır.

• Sağa Öteleme (x ekseni boyunca): Eğer bir nokta 'a' birim sağa ötelenirse, x koordinatına 'a' eklenir.
  

  $(x, y) \xrightarrow{\text{a birim sağa}} (x+a, y)$

  💡 İpucu: Sağa hareket, x değerini artırır. Pozitif yönde hareket demektir.

• Sola Öteleme (x ekseni boyunca): Eğer bir nokta 'a' birim sola ötelenirse, x koordinatından 'a' çıkarılır.
  

  $(x, y) \xrightarrow{\text{a birim sola}} (x-a, y)$

  💡 İpucu: Sola hareket, x değerini azaltır. Negatif yönde hareket demektir.

• Yukarı Öteleme (y ekseni boyunca): Eğer bir nokta 'b' birim yukarı ötelenirse, y koordinatına 'b' eklenir.
  

  $(x, y) \xrightarrow{\text{b birim yukarı}} (x, y+b)$

  💡 İpucu: Yukarı hareket, y değerini artırır. Pozitif yönde hareket demektir.

• Aşağı Öteleme (y ekseni boyunca): Eğer bir nokta 'b' birim aşağı ötelenirse, y koordinatından 'b' çıkarılır.
  

  $(x, y) \xrightarrow{\text{b birim aşağı}} (x, y-b)$

  💡 İpucu: Aşağı hareket, y değerini azaltır. Negatif yönde hareket demektir.

• Genel Öteleme (Hem x hem y ekseni boyunca): Bir nokta hem x hem de y ekseni boyunca ötelenirse, her iki koordinatına da ilgili değişiklikler uygulanır.
  

  $(x, y) \xrightarrow{\text{a birim sağa, b birim yukarı}} (x+a, y+b)$

  Örnek: A(3, 5) noktası 4 birim sağa ötelenirse, yeni koordinatları (3+4, 5) = (7, 5) olur. ➕

  Örnek: B(-2, 7) noktası 3 birim sola ve 2 birim aşağı ötelenirse, yeni koordinatları (-2-3, 7-2) = (-5, 5) olur. ➖

Şekillerin Ötelenmesi 📐

Bir şekli ötelemek için, o şekli oluşturan tüm köşe noktalarını aynı öteleme kuralına göre ötelemen yeterlidir. Köşe noktaları ötelenip yeni yerlerine işaretlendikten sonra, bu noktalar birleştirilerek şeklin ötelenmiş görüntüsü elde edilir.

• Bir üçgeni ötelemek için üç köşesini de ötelersin.
• Bir dikdörtgeni ötelemek için dört köşesini de ötelersin.
• Şeklin alanı, çevresi veya iç açıları öteleme sonucunda değişmez. Sadece konumu değişir.
• ⚠️ Dikkat: Şeklin her noktasının aynı yönde ve aynı miktarda ötelenmesi gerektiğini unutma. Bir köşe noktası için yaptığın öteleme işlemini diğer tüm köşe noktaları için de yapmalısın.

Özel Durumlar ve İpuçları 🧐

• Ters Öteleme: Eğer bir noktanın ötelenmiş hali ve uygulanan öteleme kuralı verilmişse, başlangıç noktasını bulmak için öteleme işleminin tersini yaparsın.
  

  Örnek: Bir nokta 3 birim sağa ve 5 birim aşağı ötelenerek orijin (0,0) noktasına gelmişse, başlangıç noktasını bulmak için orijini 3 birim sola ve 5 birim yukarı ötelersin. Yani (0-3, 0+5) = (-3, 5) olur. ⏪

• Çok Adımlı Öteleme: Bir noktaya veya şekle birden fazla öteleme hareketi uygulanabilir. Bu durumda her adımı sırasıyla uygulayarak son konumu bulursun.
  

  Örnek: S(-2, 3) noktası önce 6 birim sağa, sonra 2 birim yukarı, sonra 4 birim sola, en son 4 birim aşağı ötelenirse:

  1. Adım: (-2+6, 3) = (4, 3)

  2. Adım: (4, 3+2) = (4, 5)

  3. Adım: (4-4, 5) = (0, 5)

  4. Adım: (0, 5-4) = (0, 1)

  Sonuç: (0, 1) 🚶‍♀️

• Ötelenen Şekillerin Kesişim Alanı: İki veya daha fazla şekil ötelenip aynı koordinat sistemine çizildiğinde, çakışan (üst üste gelen) bölgeleri olabilir. Bu bölgelerin alanını bulmak için yeni konumlarını doğru bir şekilde çizmen ve kesişen bölgenin geometrik şeklini (genellikle dikdörtgen veya kare) belirleyip alanını hesaplaman gerekir. Kareli zemin üzerinde sayarak veya koordinatları kullanarak kenar uzunluklarını bulup çarpabilirsin. 📏

• Hangi Bölgede Olabilir? Bir noktanın öteleme sonrası hangi bölgede olabileceği sorulduğunda, öteleme miktarları tam olarak verilmemişse, farklı senaryoları düşünerek olası bölgeleri belirlemelisin. Örneğin, "sola ve yukarı" ötelenen bir nokta, ne kadar sola ve ne kadar yukarı gittiğine bağlı olarak farklı bölgelerde olabilir.
  

  Örnek: M(-4, -3) noktası x ekseni boyunca sola ve y ekseni boyunca yukarı öteleniyor. Eğer az sola ve çok yukarı giderse 2. bölgeye, çok sola ve az yukarı giderse 3. bölgeye, hatta yeterince yukarı giderse 1. bölgeye bile geçebilir (eğer x koordinatı pozitif olursa). Bu tür sorularda tüm olası durumları göz önünde bulundurmalısın. 🤔

• Öteleme Kuralını Bulma: Bir şeklin veya noktanın başlangıç ve bitiş konumları verildiğinde, hangi öteleme kuralının uygulandığını bulabilirsin. Bunun için, başlangıç noktasının koordinatlarından bitiş noktasının koordinatlarını çıkararak veya aradaki farkı bularak öteleme miktarını ve yönünü belirlersin.
  

  Örnek: A(2, 1) noktası A'(5, -3) noktasına ötelenmişse:

  x değişimi: $5 - 2 = +3$ (3 birim sağa)

  y değişimi: $-3 - 1 = -4$ (4 birim aşağı)

  Öteleme kuralı: 3 birim sağa, 4 birim aşağı. 🔍

⚠️ Dikkat: Koordinat düzleminde sağa ve yukarı hareketler pozitif, sola ve aşağı hareketler negatiftir. Bu işaretleri karıştırmamak, doğru sonuca ulaşmanın anahtarıdır! 🔑

Bu ders notları, öteleme konusundaki tüm temel bilgileri ve karşılaşabileceğin soru tiplerini özetlemektedir. Bol bol pratik yaparak konuyu iyice pekiştirmeyi unutma! Başarılar! ✨