İki benzer dikdörtgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

• ABCD Dikdörtgeni:
  • Alanı (\(A_{ABCD}\)) = \(96 \text{ cm}^2\)
  • Kenar uzunlukları doğal sayıdır.
• KLMN Dikdörtgeni:
  • Alanı (\(A_{KLMN}\)) = \(54 \text{ cm}^2\)
  • Kenar uzunlukları doğal sayıdır.
  • ABCD dikdörtgenine benzerdir.

KLMN'nin ABCD'ye benzerlik oranına \(k\) diyelim. Bu durumda, alanlar oranı benzerlik oranının karesi olacaktır:

\[ \frac{A_{KLMN}}{A_{ABCD}} = k^2 \] \[ \frac{54}{96} = k^2 \]

Şimdi oranı sadeleştirelim. Hem 54 hem de 96, 6 ile bölünebilir:

\[ \frac{54 \div 6}{96 \div 6} = k^2 \] \[ \frac{9}{16} = k^2 \]

Benzerlik oranını bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

\[ k = \sqrt{\frac{9}{16}} \] \[ k = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} \] \[ k = \frac{3}{4} \]

Kenar uzunluklarının doğal sayı olması koşulunu kontrol edelim. Eğer ABCD'nin kenarları 8 cm ve 12 cm olsaydı (Alan = \(8 \times 12 = 96\)), KLMN'nin kenarları benzerlik oranı \(3/4\) ile: \[ 8 \times \frac{3}{4} = 6 \text{ cm} \] \[ 12 \times \frac{3}{4} = 9 \text{ cm} \] KLMN'nin alanı \(6 \times 9 = 54 \text{ cm}^2\) olurdu. Bu durumda kenar uzunlukları (6 ve 9) da doğal sayı olurdu. Dolayısıyla benzerlik oranı \(3/4\) doğru ve koşulları sağlamaktadır.

Cevap D seçeneğidir.