Sorunun Çözümü
- Dört eşkenar üçgenin yükseklikleri sırasıyla $h_1, h_2, h_3, h_4$ olsun. Şekilde üçgenlerin soldan sağa doğru büyüdüğü görülmektedir.
- Ardışık üçgenlerin benzerlik oranı $3/4$ olduğundan, küçük üçgenin yüksekliğinin büyük üçgenin yüksekliğine oranı $3/4$'tür. Bu durumda, $h_1/h_2 = 3/4$, $h_2/h_3 = 3/4$, $h_3/h_4 = 3/4$ ilişkisi vardır.
- Yükseklikleri $h_1$ cinsinden ifade edersek: $h_2 = \frac{4}{3}h_1$, $h_3 = (\frac{4}{3})^2 h_1 = \frac{16}{9}h_1$, $h_4 = (\frac{4}{3})^3 h_1 = \frac{64}{27}h_1$.
- Tüm yüksekliklerin doğal sayı olması için $h_1$'in $27$'nin bir katı olması gerekir. En küçük doğal sayı değerini bulmak için $h_1 = 27$ alınır.
- Yükseklikleri hesaplayalım:
- $h_1 = 27 cm$
- $h_2 = \frac{4}{3} \cdot 27 = 36 cm$
- $h_3 = \frac{16}{9} \cdot 27 = 48 cm$
- $h_4 = \frac{64}{27} \cdot 27 = 64 cm$
- $|AB|$ uzunluğu, bu dört yüksekliğin toplamına eşittir.
- $|AB| = h_1 + h_2 + h_3 + h_4 = 27 + 36 + 48 + 64 = 175 cm$.
- Doğru Seçenek B'dır.