Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Bilinen Noktaların Koordinatlarını Belirleme:
  • Koordinat düzleminde O noktası orijindir, yani $O=(0,0)$.
  • E noktası y ekseni üzerinde ve $|EO|=10$ birimdir. Şekle göre E, pozitif y eksenindedir. Bu durumda $E=(0,10)$.
  • A noktası y ekseni üzerinde ve $|AE|=6$ birimdir. Şekle göre A, E ile O arasındadır. Bu durumda A noktasının y koordinatı $10-6=4$ olur. Yani $A=(0,4)$.
  • K noktası x ekseni üzerindedir. Bu durumda $K=(x_K, 0)$ şeklinde bir noktadır. Bizden $|OK|$ uzunluğu isteniyor, bu da $x_K$ değerinin mutlak değeridir.
• 2. Üçgenlerin Eşliğini Kullanma:
  • Soruda $\triangle EFA \cong \triangle KOA$ olduğu verilmiştir. Eş üçgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşittir.
  • Eşlikten dolayı karşılıklı kenarlar:
    • $|EA| = |KA|$
    • $|FA| = |OA|$
    • $|EF| = |KO|$
  • Eşlikten dolayı karşılıklı açılar:
    • $\angle EFA = \angle KOA$
• 3. Bilgileri Uygulama:
  • $A=(0,4)$ ve $O=(0,0)$ olduğundan, $|OA|=4$ birimdir.
  • Eşlikten dolayı $|FA| = |OA|$, yani $|FA|=4$ birimdir.
  • $|AE|=6$ birim verilmişti. Eşlikten dolayı $|KA| = |AE|$, yani $|KA|=6$ birimdir.
  • $\triangle KOA$ üçgeni, K noktası x ekseninde, A noktası y ekseninde ve O orijin olduğu için O noktasında dik açılı bir üçgendir ($\angle KOA = 90^\circ$).
• 4. Pisagor Teoremini Kullanarak $|OK|$ Uzunluğunu Bulma:
  • $\triangle KOA$ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: $$|OK|^2 + |OA|^2 = |KA|^2$$
  • Bilinen değerleri yerine yazalım: $$|OK|^2 + 4^2 = 6^2$$ $$|OK|^2 + 16 = 36$$ $$|OK|^2 = 36 - 16$$ $$|OK|^2 = 20$$ $$|OK| = \sqrt{20}$$ $$|OK| = \sqrt{4 \times 5}$$ $$|OK| = 2\sqrt{5}$$

Buna göre, $|OK|$ uzunluğu $2\sqrt{5}$ birimdir.

Cevap B seçeneğidir.