Verilen bahçe paralelkenar biçimindedir ve kenar uzunlukları 20 m ile 10 m'dir.

Bir paralelkenarda, kenar uzunlukları $a$ ve $b$ ise, herhangi bir köşegenin uzunluğu $d$ için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

• $|a - b| < d < a + b$

Verilen kenar uzunlukları $a = 20$ m ve $b = 10$ m olduğuna göre, herhangi bir köşegenin uzunluğu için:

• $|20 - 10| < d < 20 + 10$
• $10 < d < 30$

Bu, herhangi bir köşegenin uzunluğunun 10 m'den büyük ve 30 m'den küçük olması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla, 30 m olamaz.

Şimdi, "uzun köşegen" için daha spesifik bir aralık bulalım. Bir paralelkenarın köşegenleri, kenarların oluşturduğu açılara bağlı olarak değişir. Eğer paralelkenar bir dikdörtgen olsaydı (yani açılar 90 derece olsaydı), köşegenlerin uzunluğu Pisagor teoremi ile bulunurdu:

• $d_{dikdörtgen} = \sqrt{a^2 + b^2}$
• $d_{dikdörtgen} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500}$
• $\sqrt{500} \approx 22.36$ m

Bir paralelkenarda, uzun köşegenin uzunluğu $d_L$, dikdörtgenin köşegeninden daha kısa olamaz (yani $d_L \ge \sqrt{a^2+b^2}$'dir). Bu durum, paralelkenarın açısının dar veya geniş olmasına göre değişir. Uzun köşegen, her zaman $\sqrt{a^2+b^2}$'den büyük veya eşit olmalıdır (eşitlik durumu dikdörtgen için geçerlidir).

Bu durumda, uzun köşegenin uzunluğu $d_L$ için aralık:

• $\sqrt{500} \le d_L < 30$
• $22.36 \le d_L < 30$

Şimdi verilen seçenekleri bu aralıkla karşılaştıralım:

• I. 22 m: $22 < 22.36$ olduğu için uzun köşegenin uzunluğu 22 m olamaz.
• II. 28 m: $22.36 \le 28 < 30$ olduğu için uzun köşegenin uzunluğu 28 m olabilir.
• III. 30 m: $d_L < 30$ olduğu için uzun köşegenin uzunluğu 30 m olamaz.

Bu durumda, döşenen borunun uzunluğu sadece 28 m olabilir.

Cevap B seçeneğidir.