Bu problemi çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.

• 1. Üçgeni Tanımlama:

  Şekilde, I numaralı kutunun köşesinden (P noktası diyelim) II numaralı kutunun iki köşesine (A ve B noktaları diyelim) olan uzaklıklar verilmiştir. Bu noktalar P, A ve B bir üçgen oluşturur. PA = 16 cm, PB = 12 cm ve aralarındaki açı $\alpha$'dır. II numaralı kutunun yüksekliği, A ve B noktaları arasındaki uzaklıktır (AB uzunluğu), buna $h$ diyelim.

• 2. Kosinüs Teoremi'ni Uygulama:

  PAB üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım:

  $$h^2 = PA^2 + PB^2 - 2 \cdot PA \cdot PB \cdot \cos(\alpha)$$

  Verilen değerleri yerine yazalım:

  $$h^2 = 16^2 + 12^2 - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \cos(\alpha)$$

  $$h^2 = 256 + 144 - 384 \cdot \cos(\alpha)$$

  $$h^2 = 400 - 384 \cdot \cos(\alpha)$$

• 3. $\alpha < 90^\circ$ Koşulunu Kullanma:

  Soruda $\alpha < 90^\circ$ olduğu belirtilmiştir. Bir açının $90^\circ$'den küçük olması durumunda, o açının kosinüs değeri pozitiftir, yani $\cos(\alpha) > 0$.

• 4. $h$ için Eşitsizlik Oluşturma:

  Eğer $\alpha = 90^\circ$ olsaydı, $\cos(\alpha) = 0$ olurdu ve $h^2 = 400 - 384 \cdot 0 = 400$, dolayısıyla $h = \sqrt{400} = 20$ cm olurdu.

  Ancak, $\alpha < 90^\circ$ olduğu için $\cos(\alpha)$ pozitif bir değerdir ($\cos(\alpha) > 0$). Bu durumda, $384 \cdot \cos(\alpha)$ da pozitif bir değer olacaktır.

  $$h^2 = 400 - (\text{pozitif bir değer})$$

  Bu da $h^2 < 400$ anlamına gelir.

  Her iki tarafın karekökünü alırsak:

  $$h < \sqrt{400}$$

  $$h < 20$$

• 5. Maksimum Tam Sayı Değeri Bulma:

  II numaralı kutunun yüksekliği $h$, 20 cm'den küçük olmalıdır. $h$'nin cm cinsinden tam sayı değeri en fazla kaçtır diye sorulduğu için, 20'den küçük en büyük tam sayı 19'dur.

Cevap B seçeneğidir.