Verilen bilgilere göre, ABC bir dik üçgendir ve A köşesinde dik açı bulunmaktadır (\(m(\widehat{A}) = 90^\circ\)).

• B açısının ölçüsü \(m(\widehat{ABC}) = 45^\circ\) olarak verilmiştir.
• Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, C açısının ölçüsü şu şekilde bulunur:
• \(m(\widehat{C}) = 180^\circ - m(\widehat{A}) - m(\widehat{B})\)
• \(m(\widehat{C}) = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ\)
• \(m(\widehat{C}) = 45^\circ\)
• Bu durumda, ABC üçgeni bir 45-45-90 özel dik üçgenidir.
• 45-45-90 üçgeninde, 45 derecelik açıların karşısındaki kenarlar birbirine eşittir ve hipotenüs, bu kenarların \(\sqrt{2}\) katıdır.
• Yani, \(|AB| = |AC|\) ve \(|BC| = |AB| \cdot \sqrt{2}\) veya \(|BC| = |AC| \cdot \sqrt{2}\) olur.
• Soruda \(|AB| = 10\sqrt{2}\) cm olarak verilmiştir.
• Hipotenüs \(|BC|\) uzunluğunu bulmak için formülü kullanalım:
• \(|BC| = |AB| \cdot \sqrt{2}\)
• \(|BC| = (10\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}\)
• \(|BC| = 10 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})\)
• \(|BC| = 10 \cdot 2\)
• \(|BC| = 20\) cm

Alternatif olarak, trigonometrik oranları kullanarak da çözebiliriz:

• B açısının kosinüsünü kullanalım: \(\cos(B) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}}\)
• \(\cos(45^\circ) = \frac{|AB|}{|BC|}\)
• \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{|BC|}\)
• İçler dışlar çarpımı yaparsak: \(\sqrt{2} \cdot |BC| = 2 \cdot 10\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{2} \cdot |BC| = 20\sqrt{2}\)
• Her iki tarafı \(\sqrt{2}\) ile bölersek: \(|BC| = 20\) cm

Cevap A seçeneğidir.