Verilen problemde, bir pergelin sivri ucu üçgenin A, B, C köşelerine yerleştirilip açıklığı (yarıçapı) değiştirilmeden yaylar çiziliyor. Bu, çizilen tüm yayların yarıçapının aynı olduğu anlamına gelir. Bu yarıçapı 'r' ile gösterelim.

Her bir köşeden çizilen yay, o köşedeki açıyı oluşturan iki kenarı keser. Örneğin, A köşesinden çizilen yay, AB ve AC kenarlarını keser. Bu kesim noktalarını birleştiren doğru parçasına "kiriş" denir.

• A köşesinden çizilen yayın AB ve AC kenarlarını kestiği noktaları birleştiren kirişin uzunluğu $L_A$ olsun.
• B köşesinden çizilen yayın BA ve BC kenarlarını kestiği noktaları birleştiren kirişin uzunluğu $L_B$ olsun.
• C köşesinden çizilen yayın CA ve CB kenarlarını kestiği noktaları birleştiren kirişin uzunluğu $L_C$ olsun.

Bir köşeden 'r' yarıçaplı bir yay çizildiğinde, bu yayın açının kenarlarını kestiği noktaları birleştiren kirişin uzunluğu, açının $\theta$ olması durumunda $2r \sin(\theta/2)$ formülü ile bulunur.

Buna göre:

• $L_A = 2r \sin(m(\hat{A})/2)$
• $L_B = 2r \sin(m(\hat{B})/2)$
• $L_C = 2r \sin(m(\hat{C})/2)$

Şekli dikkatlice incelediğimizde, bu kirişlerin uzunluklarını görsel olarak karşılaştırabiliriz:

• A köşesindeki kiriş (AB ve AC üzerindeki kesim noktalarını birleştiren) en kısa görünmektedir.
• C köşesindeki kiriş (CA ve CB üzerindeki kesim noktalarını birleştiren) orta uzunlukta görünmektedir.
• B köşesindeki kiriş (BA ve BC üzerindeki kesim noktalarını birleştiren) en uzun görünmektedir.

Bu görsel karşılaştırmaya göre, kiriş uzunlukları arasındaki sıralama şöyledir:

$L_A < L_C < L_B$

Bu eşitsizliği formüllerle yerine koyarsak:

$2r \sin(m(\hat{A})/2) < 2r \sin(m(\hat{C})/2) < 2r \sin(m(\hat{B})/2)$

Pergelin yarıçapı 'r' pozitif bir değer olduğu için, eşitsizliğin her iki tarafını $2r$ ile bölebiliriz:

$\sin(m(\hat{A})/2) < \sin(m(\hat{C})/2) < \sin(m(\hat{B})/2)$

Bir üçgenin iç açıları 0 ile 180 derece arasında olduğundan, bu açıların yarısı (m($\hat{A}$)/2, m($\hat{C}$)/2, m($\hat{B}$)/2) 0 ile 90 derece arasında olacaktır. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu kesinlikle artan bir fonksiyondur. Dolayısıyla, sinüs değerlerinin sıralaması, açıların sıralamasıyla aynıdır:

$m(\hat{A})/2 < m(\hat{C})/2 < m(\hat{B})/2$

Bu eşitsizliği 2 ile çarparsak, açıların sıralamasını elde ederiz:

$m(\hat{A}) < m(\hat{C}) < m(\hat{B})$

Bu sıralama A seçeneğinde verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.