Verilen soruyu adım adım çözelim:

• 1. Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma:
• ABCD bir kare ve alanı $A(ABCD) = 80 \text{ cm}^2$ olarak verilmiştir.
• Karenin bir kenar uzunluğu $a$ ise, alanı $a^2$'dir.
• Bu durumda, $a^2 = 80$.
• Karenin bir kenarı, yani $|AB|$ uzunluğu $a = \sqrt{80}$ cm'dir.
• $\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$ cm.
• 2. AEB Dik Üçgeninde Pisagor Teoremini Uygulama:
• AEB bir dik üçgendir ve $[AE] \perp [BE]$ olduğu için dik açı E noktasındadır.
• Dik üçgende Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: $|AE|^2 + |EB|^2 = |AB|^2$.
• Soruda $|EB| = 4 \text{ cm}$ ve yukarıda $|AB| = \sqrt{80} \text{ cm}$ olarak bulduk.
• Değerleri yerine yazalım: $|AE|^2 + 4^2 = (\sqrt{80})^2$.
• 3. $|AE|$ Uzunluğunu Hesaplama:
• Denklemi çözelim: $|AE|^2 + 16 = 80$.
• $|AE|^2 = 80 - 16$.
• $|AE|^2 = 64$.
• $|AE| = \sqrt{64}$.
• $|AE| = 8 \text{ cm}$.

Cevap D seçeneğidir.