Verilen üçgende kenar uzunlukları \(|AB| = 5\) cm ve \(|BC| = 12\) cm'dir. Ayrıca \(|AC| > 13\) cm olduğu belirtilmiştir. \(m(\hat{B})\) açısının kaç derece olabileceği sorulmaktadır.

• Kosinüs Teoremi'ni Uygula:
  Bir üçgende Kosinüs Teoremi'ne göre, bir kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunur. Yani, \(|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\hat{B})\).
• Verilen Değerleri Yerine Koy:
  \(|AC|^2 = 5^2 + 12^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos(\hat{B})\)
  \(|AC|^2 = 25 + 144 - 120 \cdot \cos(\hat{B})\)
  \(|AC|^2 = 169 - 120 \cdot \cos(\hat{B})\)
• Verilen Koşulu Kullan:
  Soruda \(|AC| > 13\) cm olduğu verilmiştir. Her iki tarafın karesini alırsak:
  \(|AC|^2 > 13^2\)
  \(|AC|^2 > 169\)
• Eşitsizliği Çöz:
  Şimdi \(|AC|^2\) için bulduğumuz ifadeyi eşitsizliğe yerleştirelim:
  \(169 - 120 \cdot \cos(\hat{B}) > 169\)
  Her iki taraftan 169 çıkarırsak:
  \(-120 \cdot \cos(\hat{B}) > 0\)
  Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı olan -120'ye bölersek, eşitsizlik yön değiştirir:
  \(\cos(\hat{B}) < 0\)
• Açı Değerini Belirle:
  Bir üçgende açılar \(0^\circ\) ile \(180^\circ\) arasında değişir. \(\cos(\hat{B}) < 0\) olması için \(\hat{B}\) açısının ikinci bölgede olması gerekir. Yani, \(90^\circ < \hat{B} < 180^\circ\) olmalıdır.
• Seçenekleri Kontrol Et:
  Verilen seçenekler arasında \(90^\circ\) ile \(180^\circ\) arasında olan tek değer 95°'dir.
  • A) 75° (\(\cos(75^\circ) > 0\))
  • B) 85° (\(\cos(85^\circ) > 0\))
  • C) 90° (\(\cos(90^\circ) = 0\))
  • D) 95° (\(\cos(95^\circ) < 0\))

Bu nedenle, \(m(\hat{B})\) açısı 95° olabilir.

Cevap D seçeneğidir.