Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Mavi levhanın uzun kenarını bulalım:

  Mavi levhanın kısa kenar uzunluğu 5 cm ve alanı 50 cm² olarak verilmiştir.

  Dikdörtgenin alanı = kısa kenar \(\times\) uzun kenar

  \(50 \text{ cm}^2 = 5 \text{ cm} \times \text{Mavi uzun kenar}\)

  \(\text{Mavi uzun kenar} = \frac{50}{5} = 10 \text{ cm}\)

• 2. Levhaların geometrik ilişkisini belirleyelim:

  Soruda, mavi levhanın kırmızı levhanın üzerine "ikişer köşeleri çakışacak şekilde" yerleştirildiği belirtilmiştir. Şekle baktığımızda, kırmızı dikdörtgenin sol üst köşesi ile mavi dikdörtgenin sol üst köşesi ve kırmızı dikdörtgenin sağ alt köşesi ile mavi dikdörtgenin sağ alt köşesi çakışmaktadır. Bu durum, her iki dikdörtgenin de aynı köşegen uzunluğuna sahip olduğunu gösterir.

• 3. Köşegen uzunluklarını hesaplayalım:

  Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu Pisagor teoremi ile bulunur: \(\text{köşegen}^2 = \text{kısa kenar}^2 + \text{uzun kenar}^2\).

  • Mavi levhanın köşegeninin karesi:

    \(d_{\text{mavi}}^2 = (\text{Mavi kısa kenar})^2 + (\text{Mavi uzun kenar})^2\)

    \(d_{\text{mavi}}^2 = 5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125\)

  • Kırmızı levhanın köşegeninin karesi:

    Kırmızı levhanın kısa kenar uzunluğu 7 cm olarak verilmiştir. Uzun kenarını \(\text{K_u}\) ile gösterelim.

    \(d_{\text{kırmızı}}^2 = (\text{Kırmızı kısa kenar})^2 + (\text{Kırmızı uzun kenar})^2\)

    \(d_{\text{kırmızı}}^2 = 7^2 + \text{K_u}^2 = 49 + \text{K_u}^2\)

• 4. Kırmızı levhanın uzun kenarını bulalım:

  Köşegenler eşit olduğundan, köşegen kareleri de eşit olmalıdır:

  \(d_{\text{kırmızı}}^2 = d_{\text{mavi}}^2\)

  \(49 + \text{K_u}^2 = 125\)

  \(\text{K_u}^2 = 125 - 49\)

  \(\text{K_u}^2 = 76\)

  \(\text{K_u} = \sqrt{76}\)

  \(\text{K_u} = \sqrt{4 \times 19}\)

  \(\text{K_u} = 2\sqrt{19} \text{ cm}\)

Kırmızı levhanın uzun kenar uzunluğu \(2\sqrt{19}\) cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.