Soruyu adım adım çözelim:

• Çubuk Parçalarının Uzunluklarını Belirleme:
  • Kırmızı çubuk 20 cm uzunluğundadır ve her biri doğal sayı olan $x$ adet eşit parçaya ayrılmıştır. Bu durumda her bir kırmızı parça $20/x$ cm uzunluğundadır. $20/x$ bir doğal sayı olduğu için $x$, 20'nin bir böleni olmalıdır.
  • Mavi çubuk 20 cm uzunluğundadır ve her biri doğal sayı olan $y$ adet eşit parçaya ayrılmıştır. Bu durumda her bir mavi parça $20/y$ cm uzunluğundadır. $20/y$ bir doğal sayı olduğu için $y$, 20'nin bir böleni olmalıdır.
  • Mavi çubuğun parça sayısı, kırmızı çubuğun parça sayısından 1 fazladır: $y = x + 1$.
• Olası $x$ ve $y$ Değerlerini Bulma:
  • 20'nin bölenleri: {1, 2, 4, 5, 10, 20}.
  • $x$ ve $y$ bu bölenler kümesinden olmalı ve $y = x + 1$ koşulunu sağlamalıdır.
    • Eğer $x=1$ ise $y=2$. (1 ve 2, 20'nin bölenidir.) Bu bir geçerli durumdur.
    • Eğer $x=4$ ise $y=5$. (4 ve 5, 20'nin bölenidir.) Bu da bir geçerli durumdur.
    • Diğer $x$ değerleri için $x+1$ değeri 20'nin böleni olmaz (örneğin $x=2 \Rightarrow y=3$, 3 bölen değil; $x=10 \Rightarrow y=11$, 11 bölen değil).
• Üçgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplama:
  • Şekilde, $|AB|$ kenarı 2 adet kırmızı parçadan oluşmaktadır. Yani $|AB| = 2 \times (20/x) = 40/x$.
  • Şekilde, $|BC|$ kenarı 3 adet mavi parçadan oluşmaktadır. Yani $|BC| = 3 \times (20/y) = 60/y$.
  
  Durum 1: $x=1$, $y=2$
  • Kırmızı parça uzunluğu: $20/1 = 20$ cm.
  • Mavi parça uzunluğu: $20/2 = 10$ cm.
  • $|AB| = 2 \times 20 = 40$ cm.
  • $|BC| = 3 \times 10 = 30$ cm.
  Durum 2: $x=4$, $y=5$
  • Kırmızı parça uzunluğu: $20/4 = 5$ cm.
  • Mavi parça uzunluğu: $20/5 = 4$ cm.
  • $|AB| = 2 \times 5 = 10$ cm.
  • $|BC| = 3 \times 4 = 12$ cm.
• Üçgen Eşitsizliğini Uygulama:

  Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır. Yani, $|a-b| < c < a+b$.

  
  Durum 1 için: $|AB|=40$, $|BC|=30$
  • $|40 - 30| < |AC| < 40 + 30$
  • $10 < |AC| < 70$
  • Bu durumda $|AC|$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 11'dir.
  Durum 2 için: $|AB|=10$, $|BC|=12$
  • $|10 - 12| < |AC| < 10 + 12$
  • $2 < |AC| < 22$
  • Bu durumda $|AC|$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür.
• En Küçük Değeri Belirleme:

  İki durumdan elde edilen en küçük tam sayı değerlerini karşılaştırdığımızda (11 ve 3), $|AC|$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür.

Cevap A seçeneğidir.