🎓 8. Sınıf Üçgenler Test 18 - Ders Notu ve İpuçları

Bu test, 8. sınıf üçgenler konusunun temel taşlarını oluşturan üçgen eşitsizliği, üçgende açı-kenar ilişkileri, Pisagor teoremi ve üçgen çizim şartları gibi önemli konuları kapsamaktadır. Bu ders notu, bu konuları pekiştirmeniz ve sınavlara daha iyi hazırlanmanız için size yol gösterecektir.

📐 Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki vardır. Bu ilişkiye üçgen eşitsizliği denir.

• Herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
• Herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
• Eğer bir üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c ise, bu durum matematiksel olarak şöyle ifade edilir:
  |b - c| < a < b + c
  |a - c| < b < a + c
  |a - b| < c < a + b
• 💡 İpucu: Genellikle en uzun kenarı veya bilinmeyen kenarı ortada tutarak eşitsizliği yazmak işleri kolaylaştırır.
• ⚠️ Dikkat: Birden fazla üçgenin birleştiği şekillerde (örneğin bir dörtgenin köşegeni ile ayrılması), her bir üçgen için ayrı ayrı üçgen eşitsizliği uygulamayı unutmayın. Ortak kenar için bulduğunuz eşitsizlik aralıklarının kesişimini almanız gerekir.
• Örnek: Kenarları 5 cm ve 8 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarı (x) hangi tam sayı değerlerini alabilir?
  |8 - 5| < x < 8 + 5
  3 < x < 13
  Bu durumda x; 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 değerlerini alabilir. Yani 9 farklı tam sayı değeri vardır.

📏 Üçgende Açı-Kenar İlişkileri

Bir üçgende açılar ve kenarlar arasında doğrudan bir ilişki vardır.

• Bir üçgende büyük açı karşısında uzun kenar, küçük açı karşısında kısa kenar bulunur.
• Tersine, uzun kenarın karşısındaki açı büyük, kısa kenarın karşısındaki açı küçüktür.
• Üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'dir. Bu bilgi, verilmeyen bir açıyı bulmak için kritik öneme sahiptir.
• 💡 İpucu: Kenar uzunluklarını sıralamak için önce tüm iç açıları bulmaya çalışın. Açılar arasında bir eşitsizlik varsa, kenarlar arasında da aynı sıralama geçerlidir.
• Örnek: Bir ABC üçgeninde m(A) = 70°, m(B) = 60° ise, m(C) = 180° - (70° + 60°) = 50° olur.
  Bu durumda en büyük açı A (70°) olduğu için karşısındaki kenar |BC| en uzundur. En küçük açı C (50°) olduğu için karşısındaki kenar |AB| en kısadır. Sıralama: |AB| < |AC| < |BC|.
• ⚠️ Dikkat: Sorularda bazen açılar cebirsel ifadelerle verilebilir (örneğin 5x, 6x-20). Bu durumda önce iç açılar toplamı 180° denklemini kurup x değerini bulun, sonra her bir açıyı hesaplayıp sıralama yapın.

🔺 Pisagor Teoremi

Pisagor teoremi, sadece dik üçgenler için geçerli olan özel bir bağıntıdır.

• Bir dik üçgende, dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir ve bu kenar üçgenin en uzun kenarıdır. Diğer iki kenara ise dik kenarlar denir.
• Pisagor teoremi: Dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
  (Dik Kenar 1)² + (Dik Kenar 2)² = (Hipotenüs)²
  Eğer dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise: a² + b² = c².
• Özel Dik Üçgenler: Bazı dik üçgenlerin kenar uzunlukları tam sayılardan oluşur ve bunları bilmek size zaman kazandırır.
  • 3-4-5 üçgeni ve katları (6-8-10, 9-12-15 vb.)
  • 5-12-13 üçgeni ve katları (10-24-26 vb.)
  • 8-15-17 üçgeni
  • 7-24-25 üçgeni
• 💡 İpucu: Pisagor teoremini uygularken kareköklü sayılarla işlem yapmanız gerekebilir. Kareköklü sayıları en sade hallerine getirme (örneğin $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$) beceriniz gelişmiş olmalı.
• Günlük Hayattan Uygulamalar: Merdiven, direk, bina gibi nesnelerin oluşturduğu dik üçgenler, bir karıncanın ızgara üzerinde aldığı yol veya saatteki akrep-yelkovan arasındaki mesafe gibi birçok problem Pisagor teoremi ile çözülür.
• ⚠️ Dikkat: İkizkenar üçgenlerde veya diğer şekillerde Pisagor teoremini kullanmak için genellikle bir dik üçgen oluşturmanız gerekir. Örneğin, ikizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya böler ve iki eş dik üçgen oluşturur.

✍️ Üçgen Çizim Şartları

Belirli bilgiler verildiğinde bir üçgenin çizilip çizilemeyeceği veya tek bir üçgenin çizilip çizilemeyeceği önemlidir. Bir üçgeni çizebilmek için en az üç bilgiye ihtiyacımız vardır ve bu bilgilerin belirli şartları sağlaması gerekir.

• Kenar-Kenar-Kenar (KKK): Üç kenar uzunluğu verildiğinde, bu kenarlar üçgen eşitsizliğini sağlıyorsa tek bir üçgen çizilebilir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK): İki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü verildiğinde tek bir üçgen çizilebilir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA): İki açının ölçüsü ve bu iki açı arasındaki kenarın uzunluğu verildiğinde tek bir üçgen çizilebilir. (İki açı biliniyorsa üçüncü açı da biliniyor demektir.)
• Açı-Açı-Kenar (AAK): İki açının ölçüsü ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarın uzunluğu verildiğinde tek bir üçgen çizilebilir. (AKA ile benzerdir, çünkü üçüncü açı bulunabilir.)
• ⚠️ Dikkat: Üç açısı verilen bir üçgen için (AAA) sonsuz sayıda benzer üçgen çizilebilir, bu yüzden tek bir üçgen çizilemez. Sadece üçgenin şekli belirlenmiş olur, boyutu değil.
• 💡 İpucu: Bir üçgenin iki açısı biliniyorsa, üçüncü açıyı da kolayca bulabilirsiniz (180° - (Açı1 + Açı2)). Bu durumda AAK veya AKA şartlarını kontrol etmek daha kolay hale gelir.
• Örnek: Bir ABC üçgeninde m(A) = 70° ve m(B) = 50° verildiyse, m(C) = 180° - (70°+50°) = 60° olur. Bu durumda herhangi bir kenar uzunluğu (örneğin |AB| veya |BC| veya |AC|) verildiğinde üçgen çizilebilir. Ancak sadece açılar (m(A), m(B), m(C)) verilirse, tek bir üçgen çizilemez.

Bu konuları iyi anladığınızda ve bol bol pratik yaptığınızda, üçgenlerle ilgili tüm soruları kolaylıkla çözebilirsiniz. Başarılar dilerim! 🚀