Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
  • İki adet üçgen biçiminde arsa (I ve II) bulunmaktadır.
  • Bu iki arsa, 18 m uzunluğunda ortak bir çit ile ayrılmıştır. Yani, her iki üçgenin de bir kenarı 18 m'dir.
  • Üçgenlerin kenar uzunlukları doğal sayıdır.
  • Oluşan dörtgenin (iki üçgenin birleşimi) en az bir kenarının uzunluğu çitin uzunluğundan (18 m) fazladır.
  • Dörtgenin çevresinin en az kaç m olduğunu bulmamız isteniyor.
• 2. Kenar Uzunluklarını Tanımlayalım:

  Ortak çitin uzunluğu \(c = 18\) m'dir.

  Birinci üçgenin diğer kenarları \(s_1\) ve \(s_2\), ikinci üçgenin diğer kenarları ise \(s_3\) ve \(s_4\) olsun. Bu \(s_1, s_2, s_3, s_4\) değerleri dörtgenin çevresini oluşturan kenarlardır.

• 3. Üçgen Eşitsizliği Kuralını Uygulayalım:

  Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır.

  • Birinci üçgen için (kenarları \(s_1, s_2, 18\)):
    • \(s_1 + s_2 > 18\)
    • \(s_1 + 18 > s_2 \implies s_2 < s_1 + 18\)
    • \(s_2 + 18 > s_1 \implies s_1 < s_2 + 18\)
  • İkinci üçgen için (kenarları \(s_3, s_4, 18\)):
    • \(s_3 + s_4 > 18\)
    • \(s_3 + 18 > s_4 \implies s_4 < s_3 + 18\)
    • \(s_4 + 18 > s_3 \implies s_3 < s_4 + 18\)
• 4. Minimum Çevreyi Bulmak İçin Koşulları Değerlendirelim:

  Dörtgenin çevresi \(P = s_1 + s_2 + s_3 + s_4\)'tür. Bu çevreyi minimum yapmak istiyoruz.

  Koşullardan biri, dörtgenin en az bir kenarının 18 m'den uzun olmasıdır. Yani, \(s_1, s_2, s_3, s_4\) kenarlarından en az biri \(> 18\) olmalıdır. Doğal sayı oldukları için bu kenar en az 19 olabilir.

  Minimum çevreyi elde etmek için, bu kenarlardan sadece birini 18'den büyük seçip, diğerlerini mümkün olduğunca küçük tutmaya çalışalım.

  • Bir kenarı 19 seçelim:

    Varsayalım ki \(s_1 = 19\) olsun. Bu, 18'den büyük olma koşulunu sağlar.

  • Birinci üçgenin diğer kenarını (\(s_2\)) bulalım:

    Kenarlar \(19, s_2, 18\). Üçgen eşitsizliklerini uygulayalım:

    • \(19 + s_2 > 18\) (Bu, \(s_2 \ge 1\) için her zaman doğrudur.)
    • \(19 + 18 > s_2 \implies 37 > s_2\)
    • \(s_2 + 18 > 19 \implies s_2 > 1\)

    \(s_2\) bir doğal sayı ve \(1 < s_2 < 37\) olmalıdır. \(s_2\)'yi minimum yapmak için \(s_2 = 2\) seçeriz.

    Böylece birinci üçgenin dış kenarları \(s_1 = 19\) ve \(s_2 = 2\) olur. Toplamları \(19 + 2 = 21\).

  • İkinci üçgenin kenarlarını (\(s_3, s_4\)) bulalım:

    Kenarlar \(s_3, s_4, 18\). \(s_1=19\) ile "en az bir kenar 18'den büyük" koşulunu zaten sağladığımız için, \(s_3\) ve \(s_4\)'ü 18 veya daha küçük seçmeye çalışabiliriz.

    Koşul: \(s_3 + s_4 > 18\).

    \(s_3\) ve \(s_4\)'ü minimum doğal sayılar olarak seçelim:

    • Eğer \(s_3 = 1\) ise, \(1 + s_4 > 18 \implies s_4 > 17\). En küçük doğal sayı \(s_4 = 18\) olur.

    Şimdi \(s_3 = 1\) ve \(s_4 = 18\) için üçgen eşitsizliklerini kontrol edelim:

    • \(1 + 18 > 18\) (Doğru)
    • \(1 + 18 > 18\) (Doğru)
    • \(18 + 18 > 1\) (Doğru)

    Tüm koşullar sağlanmıştır. İkinci üçgenin dış kenarları \(s_3 = 1\) ve \(s_4 = 18\) olur. Toplamları \(1 + 18 = 19\).

• 5. Minimum Çevreyi Hesaplayalım:

  Dörtgenin çevresi \(P = s_1 + s_2 + s_3 + s_4 = 19 + 2 + 1 + 18 = 40\) m'dir.

Cevap D seçeneğidir.