Bu soruyu çözmek için, kenar uzunlukları tam sayı olan ve çevresi 10 cm olan üçgenleri bulmamız gerekiyor. Üçgenin kenar uzunlukları $a, b, c$ olsun.

• Verilenler:
  • Kenar uzunlukları tam sayıdır: $a, b, c \in \mathbb{Z}^+$
  • Çevre uzunluğu 10 cm'dir: $a + b + c = 10$
• Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Yani:
  • $a + b > c$
  • $a + c > b$
  • $b + c > a$
• Olası Kenar Uzunluklarını Bulma: Tekrarları önlemek için kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: $a \le b \le c$.
  Ayrıca, üçgen eşitsizliğinden $a+b > c$ ve $a+b+c=10$ olduğu için $10-c > c \Rightarrow 10 > 2c \Rightarrow c < 5$ olmalıdır.
  Diğer yandan, $c$ en büyük kenar olduğu için $c \ge 10/3 \approx 3.33$ olmalıdır (eğer $a=b=c$ olsaydı $c=10/3$).
  Yani $c$ kenarı için $3.33 < c < 5$ aralığında tam sayı değerleri arayacağız. Bu da $c=4$ olabilir.
  Ancak, $a \le b \le c$ kuralını kullanarak tüm kombinasyonları sistematik olarak inceleyelim:
  • Durum 1: $a=1$
    $1 + b + c = 10 \Rightarrow b + c = 9$.
    $1 \le b \le c$ ve $b \le 9/2 = 4.5$ olmalı.
    • Eğer $b=1$ ise $c=8$. Kenarlar: $(1, 1, 8)$. Üçgen eşitsizliği: $1+1 > 8$ (YANLIŞ). Bu bir üçgen değildir.
    • Eğer $b=2$ ise $c=7$. Kenarlar: $(1, 2, 7)$. Üçgen eşitsizliği: $1+2 > 7$ (YANLIŞ). Bu bir üçgen değildir.
    • Eğer $b=3$ ise $c=6$. Kenarlar: $(1, 3, 6)$. Üçgen eşitsizliği: $1+3 > 6$ (YANLIŞ). Bu bir üçgen değildir.
    • Eğer $b=4$ ise $c=5$. Kenarlar: $(1, 4, 5)$. Üçgen eşitsizliği: $1+4 > 5$ (YANLIŞ, $5>5$ değildir). Bu bir üçgen değildir (dejenere üçgen).
  • Durum 2: $a=2$
    $2 + b + c = 10 \Rightarrow b + c = 8$.
    $2 \le b \le c$ ve $b \le 8/2 = 4$ olmalı.
    • Eğer $b=2$ ise $c=6$. Kenarlar: $(2, 2, 6)$. Üçgen eşitsizliği: $2+2 > 6$ (YANLIŞ). Bu bir üçgen değildir.
    • Eğer $b=3$ ise $c=5$. Kenarlar: $(2, 3, 5)$. Üçgen eşitsizliği: $2+3 > 5$ (YANLIŞ, $5>5$ değildir). Bu bir üçgen değildir (dejenere üçgen).
    • Eğer $b=4$ ise $c=4$. Kenarlar: $(2, 4, 4)$. Üçgen eşitsizliği:
      • $2+4 > 4$ (DOĞRU)
      • $4+4 > 2$ (DOĞRU)
      Bu bir geçerli üçgendir.
  • Durum 3: $a=3$
    $3 + b + c = 10 \Rightarrow b + c = 7$.
    $3 \le b \le c$ ve $b \le 7/2 = 3.5$ olmalı.
    • Eğer $b=3$ ise $c=4$. Kenarlar: $(3, 3, 4)$. Üçgen eşitsizliği:
      • $3+3 > 4$ (DOĞRU)
      • $3+4 > 3$ (DOĞRU)
      Bu bir geçerli üçgendir.
  • Durum 4: $a=4$
    $4 + b + c = 10 \Rightarrow b + c = 6$.
    $4 \le b \le c$ ve $b \le 6/2 = 3$ olmalı. Bu durum $4 \le b$ ile çeliştiği için buradan başka üçgen gelmez.
• Sonuç:
  Yukarıdaki incelemelere göre, kenar uzunlukları tam sayı olan ve çevresi 10 cm olan iki farklı üçgen çizilebilir:
  • $(2, 4, 4)$
  • $(3, 3, 4)$

Cevap B seçeneğidir.