Verilen bilgilere göre, ABC bir ikizkenar üçgendir ve $|AB| = |AC| = 15$ cm'dir. Ayrıca, $m(\hat{A}) < 60^\circ$ olduğu belirtilmiştir.

Adım 1: Kosinüs Teoremini Uygulama

• Üçgende kenar uzunlukları ve açılar arasındaki ilişkiyi veren Kosinüs Teoremi'ni kullanalım. $|BC|$ uzunluğuna $x$ diyelim.
• $x^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2|AB||AC| \cos(\hat{A})$
• $x^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(\hat{A})$
• $x^2 = 225 + 225 - 450 \cos(\hat{A})$
• $x^2 = 450 - 450 \cos(\hat{A})$

Adım 2: Açı Bilgisini Kullanma

• Bize $m(\hat{A}) < 60^\circ$ olduğu verilmiş.
• Kosinüs fonksiyonu $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasında azalan bir fonksiyondur.
• Eğer $\hat{A} = 60^\circ$ olsaydı, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ olurdu.
• Bu durumda $x^2 = 450 - 450 \cdot \frac{1}{2} = 450 - 225 = 225$ olurdu, yani $x = 15$ olurdu. Bu, üçgenin eşkenar olduğu anlamına gelirdi.
• Ancak $m(\hat{A}) < 60^\circ$ olduğu için, $\cos(\hat{A}) > \cos(60^\circ)$ yani $\cos(\hat{A}) > \frac{1}{2}$ olacaktır.

Adım 3: $|BC|$ için eşitsizliği bulma

• $\cos(\hat{A}) > \frac{1}{2}$ eşitsizliğini Kosinüs Teoremi denklemine uygulayalım:
• $x^2 = 450 - 450 \cos(\hat{A})$
• $\cos(\hat{A})$ değeri büyüdükçe, $450 \cos(\hat{A})$ değeri büyür ve $450 - 450 \cos(\hat{A})$ değeri küçülür.
• Yani, $x^2 < 450 - 450 \cdot \frac{1}{2}$
• $x^2 < 450 - 225$
• $x^2 < 225$
• $x < \sqrt{225}$
• $x < 15$

Adım 4: Üçgen Eşitsizliğini Kontrol Etme

• Bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
• $|AB| + |AC| > |BC| \implies 15 + 15 > x \implies 30 > x$
• $|AB| + |BC| > |AC| \implies 15 + x > 15 \implies x > 0$
• Bu eşitsizlikler, $x < 15$ sonucumuzla çelişmemektedir.

Adım 5: En büyük tam sayı değerini bulma

• $|BC|$ uzunluğu $x < 15$ koşulunu sağlamalıdır.
• $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 14'tür.

Cevap D seçeneğidir.