Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Adım 1: ABC üçgeninin açılarını bulalım.

  Şekil 1'de verilen bilgilere göre:

  • $m(\hat{B}) = 45^\circ$
  • $m(\hat{C}) = 30^\circ$

  Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $m(\hat{A})$ açısını bulalım:

  $m(\hat{A}) = 180^\circ - m(\hat{B}) - m(\hat{C})$

  $m(\hat{A}) = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

• Adım 2: Katlama işleminin sonuçlarını değerlendirelim.

  B köşesi A köşesinin üzerine gelecek şekilde katlandığında, katlama çizgisi [DE] oluşur. Bu katlama işlemi, B noktasının A noktasına olan uzaklığını korur ve katlama çizgisi üzerindeki her nokta B ve A'ya eşit uzaklıktadır.

  Bu durumda, $BD = AD$ olur. Dolayısıyla, $\triangle ABD$ bir ikizkenar üçgendir.

  İkizkenar $\triangle ABD$'de $BD = AD$ olduğundan, taban açıları eşittir:

  $m(\hat{DAB}) = m(\hat{DBA}) = m(\hat{B}) = 45^\circ$

• Adım 3: ADC üçgeninin iç açılarını bulalım.

  Şimdi $\triangle ADC$'nin iç açılarını belirleyelim:

  • $m(\hat{C})$ açısı: $\triangle ABC$'nin $m(\hat{C})$ açısı değişmez. Dolayısıyla, $m(\hat{C}) = 30^\circ$.
  • $m(\hat{A})$ açısı (yani $m(\hat{CAD})$): $\triangle ABC$'nin toplam $m(\hat{A})$ açısı $105^\circ$'dir. $m(\hat{DAB})$ açısını $45^\circ$ bulmuştuk.

    $m(\hat{CAD}) = m(\hat{BAC}) - m(\hat{DAB})$

    $m(\hat{CAD}) = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

  • $m(\hat{D})$ açısı (yani $m(\hat{ADC})$): $\triangle ADC$'nin iç açıları toplamı $180^\circ$ olmalıdır.

    $m(\hat{ADC}) = 180^\circ - m(\hat{CAD}) - m(\hat{C})$

    $m(\hat{ADC}) = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$

• Adım 4: ADC üçgeninin iç açılarını küçükten büyüğe sıralayalım.

  Bulduğumuz açılar:

  • $m(\hat{C}) = 30^\circ$
  • $m(\hat{A}) = 60^\circ$
  • $m(\hat{D}) = 90^\circ$

  Küçükten büyüğe sıralama:

  $30^\circ < 60^\circ < 90^\circ$

  Yani, $m(\hat{C}) < m(\hat{A}) < m(\hat{D})$

Bu sıralama A seçeneğinde verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.