Verilen ABC üçgeni bir dik üçgendir, çünkü B köşesindeki açı \(90^\circ\) olarak belirtilmiştir. Yani, \(m(\widehat{ABC}) = 90^\circ\).
Üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) olduğundan, diğer iki açının toplamı \(90^\circ\) olmalıdır:
- \(m(\widehat{CAB}) = 2x + 10^\circ\)
- \(m(\widehat{ACB}) = 3x - 10^\circ\)
Bu açıların toplamını \(180^\circ\)'ye eşitleyelim:
\(m(\widehat{CAB}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ\)
\((2x + 10^\circ) + 90^\circ + (3x - 10^\circ) = 180^\circ\)
Denklemi çözelim:
\(2x + 10 + 90 + 3x - 10 = 180\)
\(5x + 90 = 180\)
\(5x = 180 - 90\)
\(5x = 90\)
\(x = \frac{90}{5}\)
\(x = 18\)
Şimdi her bir açının değerini bulalım:
- \(m(\widehat{CAB}) = 2x + 10^\circ = 2(18) + 10^\circ = 36^\circ + 10^\circ = 46^\circ\)
- \(m(\widehat{ABC}) = 90^\circ\)
- \(m(\widehat{ACB}) = 3x - 10^\circ = 3(18) - 10^\circ = 54^\circ - 10^\circ = 44^\circ\)
Açıların büyüklüklerini sıralayalım:
\(m(\widehat{ACB}) = 44^\circ\) (en küçük açı)
\(m(\widehat{CAB}) = 46^\circ\)
\(m(\widehat{ABC}) = 90^\circ\) (en büyük açı)
Bir üçgende, büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Bu kurala göre kenar uzunluklarını sıralayalım:
- \(m(\widehat{ACB})\) açısının karşısındaki kenar \(|AB|\)
- \(m(\widehat{CAB})\) açısının karşısındaki kenar \(|BC|\)
- \(m(\widehat{ABC})\) açısının karşısındaki kenar \(|AC|\) (hipotenüs)
Buna göre kenar uzunluklarının sıralaması:
\(|AB| < |BC| < |AC|\)
Cevap A seçeneğidir.