Verilen ABC üçgeninde kenar uzunlukları $|AB| = 7$ cm ve $|AC| = 10$ cm'dir. $|BC|$ kenarının alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulmalıyız.

• Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.

Bu kurala göre, $|BC|$ kenarı için:

• $|AC| - |AB| < |BC| < |AC| + |AB|$
• $|10 - 7| < |BC| < |10 + 7|$
• $3 < |BC| < 17$
• Açı-Kenar İlişkisi: Bir üçgende en büyük açının karşısındaki kenar en uzun kenardır. Soruda BAC açısının üçgendeki en büyük açı olduğu belirtilmiştir.

Bu bilgiye göre, BAC açısının karşısındaki kenar olan $|BC|$ kenarı, diğer iki kenardan ($|AB|$ ve $|AC|$) daha uzun olmalıdır.

• $|BC| > |AB| \Rightarrow |BC| > 7$
• $|BC| > |AC| \Rightarrow |BC| > 10$

Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $|BC|$'nin 10'dan büyük olması gerektiği sonucuna varırız: $|BC| > 10$.

• Koşulların Birleştirilmesi: Şimdi her iki kuraldan elde ettiğimiz eşitsizlikleri birleştirelim:
• $3 < |BC| < 17$
• $|BC| > 10$

Bu iki koşulun birlikte sağlanması için $|BC|$'nin 10'dan büyük ve 17'den küçük olması gerekir:

$10 < |BC| < 17$

• En Küçük ve En Büyük Tam Sayı Değerleri:

$10 < |BC| < 17$ aralığındaki tam sayılar 11, 12, 13, 14, 15, 16'dır.

• $|BC|$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri: 11
• $|BC|$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri: 16

Bu durumda, $|BC|$'nin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerleri sırasıyla 11 ve 16'dır.

Cevap C seçeneğidir.