Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni ve doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanacağız.

• Öncelikle, ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayarak |BC| uzunluğunu bulalım.

  Dik açı B noktasında olduğu için:

  $$|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$$

  Verilen değerleri yerine yazalım:

  $$(2\sqrt{5})^2 + |BC|^2 = 10^2$$

  $$ (4 \times 5) + |BC|^2 = 100 $$

  $$ 20 + |BC|^2 = 100 $$

  $$ |BC|^2 = 100 - 20 $$

  $$ |BC|^2 = 80 $$

  $$ |BC| = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \text{ cm} $$

• Şimdi, B, D, C noktaları doğrusal olduğu için |BC| uzunluğunu |BD| ve |DC| cinsinden ifade edebiliriz:

  $$|BC| = |BD| + |DC|$$

• Bulduğumuz |BC| değerini ve soruda verilen |DC| değerini yerine yazarak |BD| uzunluğunu hesaplayalım:

  $$ 4\sqrt{5} = |BD| + 3\sqrt{5} $$

  $$ |BD| = 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} $$

  $$ |BD| = \sqrt{5} \text{ cm} $$

Cevap A seçeneğidir.